Em um experimento para determinar o coeficiente de transferência de calor por convecção natural, uma esfera de bronze (
) com diâmetro de 12 cm é aquecida uniformemente e na sequência é resfriada ao ser inserida em um recipiente contendo etilenoglicol a uma temperatura
. Em um dado instante de tempo durante o processo de resfriamento, foi medida a temperatura na superfície da esfera, e encontrouse
. Considerando que a temperatura inicial da esfera no processo de resfriamento fosse igual a
, determine a temperatura da superfície da mesma 10 minutos após o início do processo de resfriamento. (Assuma que o coeficiente convectivo determinado na letra a) é constante ao longo de todo processo de resfriamento)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera de bronze que está esfriando em etilenoglicol. O que a gente precisa descobrir é qual será a temperatura da superfície da esfera 10 minutos depois que ela começou a esfriar. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção natural e aplicar a metodologia de “capacitância lumped” (ou método de lumped capacitance), que simplifica o problema assumindo que a temperatura dentro da esfera é uniforme em todo o seu volume.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
-
Propriedades da esfera de bronze:
- Densidade (
) = 8800 kg/m³ - Capacidade térmica específica (
) = 420 J/(kg·K) - Condutividade térmica (
) = 52 W/(m·K) - Diâmetro (
) = 12 cm → raio ( ) = 6 cm = 0,06 m
- Densidade (
-
Condições do processo:
- Temperatura inicial da esfera (
) = 100°C - Temperatura ambiente (
) = 15°C - Temperatura medida na superfície (
) = 59°C (em algum instante) - Tempo para o qual queremos a temperatura (
) = 10 minutos = 600 segundos
- Temperatura inicial da esfera (
Vamos precisar calcular a área superficial (
) e o volume (
) da esfera:
- Área superficial:
- Volume:
Passo 3
Vamos aplicar a equação de resfriamento para um objeto esférico usando o método de lumped capacitance. A equação é:
Onde:
-
é a temperatura da esfera no tempo -
é o coeficiente de transferência de calor por convecção
Como queremos encontrar
após 10 minutos, reorganizamos a equação para:
Passo 4
Antes de aplicar a equação, precisamos calcular a área e o volume da esfera:
Passo 5
Sabemos que o coeficiente de transferência de calor
foi determinado na letra a) e é constante ao longo do processo. Vamos substituir todos os valores na equação para encontrar
.
Vamos assumir que já temos o valor de
. Se não tivermos, precisaríamos determinar
usando dados experimentais, mas como foi mencionado que
está definido, vamos prosseguir.
Passo 6
Substituindo os valores na equação:
Simplificando os termos dentro do expoente:
Portanto:
Passo 7
Se tivermos o valor de
, é só calcular a expressão acima para encontrar
. Sem o valor específico de
, não podemos obter um número exato, mas essa é a fórmula que relaciona todas as variáveis envolvidas no problema.
Resposta
A temperatura da superfície da esfera 10 minutos após o início do processo de resfriamento é dada por