Em um experimento para determinar o coeficiente de transferência de calor por convecção natural, uma esfera de bronze ( rho=8800 kg / m^3, cp=420 J / kg K, k=52 W / m K ) com diâmetro de 12 cm é aquecida uniformemente e na sequência é resfriada ao ser inserida em um recipiente contendo etilenoglicol a uma temperatura T infty=15^circ C. Em um dado instante de tempo durante o processo de resfriamento, foi medida a temperatura na superfície da esfera, e encontrouse 59^circ C. Considerando que a temperatura inicial da esfera no processo de resfriamento fosse igual a 100^circ C, determine a temperatura da superfície da mesma 10 minutos após o início do processo de resfriamento. (Assuma que o coeficiente convectivo determinado na letra a) é constante ao longo de todo processo de resfriamento)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera de bronze que está esfriando em etilenoglicol. O que a gente precisa descobrir é qual será a temperatura da superfície da esfera 10 minutos depois que ela começou a esfriar. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção natural e aplicar a metodologia de “capacitância lumped” (ou método de lumped capacitance), que simplifica o problema assumindo que a temperatura dentro da esfera é uniforme em todo o seu volume.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Propriedades da esfera de bronze:
    • Densidade ( rho) = 8800 kg/m³
    • Capacidade térmica específica ( cp) = 420 J/(kg·K)
    • Condutividade térmica ( k) = 52 W/(m·K)
    • Diâmetro ( D) = 12 cm → raio ( r) = 6 cm = 0,06 m
  • Condições do processo:
    • Temperatura inicial da esfera ( Ti) = 100°C
    • Temperatura ambiente ( Tinfty) = 15°C
    • Temperatura medida na superfície ( Ts) = 59°C (em algum instante)
    • Tempo para o qual queremos a temperatura ( t) = 10 minutos = 600 segundos
Vamos precisar calcular a área superficial ( A) e o volume ( V) da esfera:
  • Área superficial: A = 4pi r^2
  • Volume: V = 43pi r^3

Passo 3

Vamos aplicar a equação de resfriamento para um objeto esférico usando o método de lumped capacitance. A equação é:
T(t) - TinftyTi - Tinfty = exp(-hArho V cp t)
Onde:
  • T(t) é a temperatura da esfera no tempo t
  • h é o coeficiente de transferência de calor por convecção
Como queremos encontrar T(t) após 10 minutos, reorganizamos a equação para:
T(t) = Tinfty + (Ti - Tinfty) cdot exp(-hArho V cp t)

Passo 4

Antes de aplicar a equação, precisamos calcular a área e o volume da esfera:
A = 4pi (0,06)^2 = 4pi (0,0036) approx 0,0452 , m^2
V = 43pi (0,06)^3 = 43pi (0,000216) approx 0,0009048 , m^3

Passo 5

Sabemos que o coeficiente de transferência de calor h foi determinado na letra a) e é constante ao longo do processo. Vamos substituir todos os valores na equação para encontrar T(t).
Vamos assumir que já temos o valor de h. Se não tivermos, precisaríamos determinar h usando dados experimentais, mas como foi mencionado que h está definido, vamos prosseguir.

Passo 6

Substituindo os valores na equação:
T(t) = 15 + (100 - 15) cdot exp(-h cdot 0,04528800 cdot 0,0009048 cdot 420 cdot 600)
Simplificando os termos dentro do expoente:
h cdot 0,04528800 cdot 0,0009048 cdot 420 = h cdot 0,04523349,9776 approx h74121
Portanto:
T(t) = 15 + 85 cdot exp(-h74121 cdot 600)

Passo 7

Se tivermos o valor de h, é só calcular a expressão acima para encontrar T(t). Sem o valor específico de h, não podemos obter um número exato, mas essa é a fórmula que relaciona todas as variáveis envolvidas no problema.

Resposta

A temperatura da superfície da esfera 10 minutos após o início do processo de resfriamento é dada por
T(600) = 15 + 85 cdot exp(-h74121 cdot 600) , ^circC

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