Considere um tubo horizontal de D=2 cm e comprimento de 12 m em escoa um fluido de viscosidade dinâmica igual a 0,28 N s / m^2 e massa específica igual a 950 kg / m^3. A vazão volumétrica do fluido é 21 times 10^-6 m^3 / s. Determine:
c) qual deve ser o ângulo de inclinação da tubulação para que o fluido escoe com a mesma vazão e com pressão constante ao longo de todo o escoamento.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem um tubo horizontal com diâmetro de 2 cm e comprimento de 12 metros. Um fluido com viscosidade dinâmica de 0,28 N·s/m² e massa específica de 950 kg/m³ está passando por ele com uma vazão volumétrica de 21 times 10^-6 , m^3/s. O que a gente precisa descobrir é qual o ângulo de inclinação desse tubo para que o fluido continue escoando com a mesma vazão e mantendo a pressão constante ao longo de todo o percurso.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação de Hagen-Poiseuille para escoamento laminar em tubos. Também vamos considerar o efeito da gravidade quando o tubo está inclinado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da vazão volumétrica $ Q $ para escoamento laminar em um tubo:
Q
Onde:
  • $ r $ é o raio do tubo
  • $ \Delta P $ é a diferença de pressão ao longo do tubo
  • $ \eta $ é a viscosidade dinâmica
  • $ L $ é o comprimento do tubo
Como o tubo está inclinado, a gravidade vai influenciar a diferença de pressão. Precisamos incluir essa influência para encontrar o ângulo de inclinação.

Passo 3

Vamos considerar que a pressão ao longo do tubo deve permanecer constante. Para isso, a força da gravidade que atua ao longo do tubo deve compensar a diferença de pressão causada pelo escoamento viscoso.
A componente da força da gravidade ao longo do tubo é dada por:
Fg = m g sin(theta)
Onde:
  • $ m $ é a massa do fluido
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ( m )
  • $ \theta $ é o ângulo de inclinação
Essa força deve equilibrar a força viscosa que causa a perda de pressão.

Passo 4

A massa do fluido que passa por segundo é relacionada à vazão volumétrica $ Q $ e à massa específica $ \rho $:
Q
Então, a força da gravidade fica:
rho
A força viscosa, que está relacionada à diferença de pressão, pode ser expressa da equação de Hagen-Poiseuille rearranjada para $ \Delta P $:
m = rho Q
Para manter a pressão constante, a força da gravidade deve ser igual à diferença de pressão:
Fg = rho Q g sin(theta)

Passo 5

Agora, podemos simplificar a equação. Notamos que $ Q $ aparece nos dois lados, então podemos cancelar:
Q
Queremos encontrar $ \theta $, então vamos isolar ele:
rho g sin(theta) = 8 eta Lpi r^4

Passo 6

Vamos agora substituir os valores conhecidos na equação. Primeiro, precisamos converter o diâmetro para o raio:
D = 2 , cm Rightarrow r = 1 , cm = 0,01 , m
Agora, substituímos:
sin(theta) = 8 times 0,28 times 12pi times (0,01)^4 times 950 times 9,81

Passo 7

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
8 times 0,28 times 12 = 26,88
Denominador:
pi times (0,01)^4 times 950 times 9,81 = pi times 1 times 10^-8 times 950 times 9,81 approx 2,942 times 10^-4
Então:
sin(theta) = 26,882,942 times 10^-4 approx 91352,07
Isso não faz sentido, pois o seno de um ângulo não pode ser maior que 1. Isso indica que, com os valores fornecidos, não é possível encontrar um ângulo de inclinação que mantenha a pressão constante para a vazão dada.

Resposta

Não existe um ângulo de inclinação que permita que o fluido escoe com a mesma vazão e pressão constante ao longo do tubo com os parâmetros fornecidos.

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