Considere um tubo horizontal de
e comprimento de 12 m em escoa um fluido de viscosidade dinâmica igual a
e massa específica igual a
. A vazão volumétrica do fluido é
. Determine:
c) qual deve ser o ângulo de inclinação da tubulação para que o fluido escoe com a mesma vazão e com pressão constante ao longo de todo o escoamento.
c) qual deve ser o ângulo de inclinação da tubulação para que o fluido escoe com a mesma vazão e com pressão constante ao longo de todo o escoamento.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem um tubo horizontal com diâmetro de 2 cm e comprimento de 12 metros. Um fluido com viscosidade dinâmica de 0,28 N·s/m² e massa específica de 950 kg/m³ está passando por ele com uma vazão volumétrica de
. O que a gente precisa descobrir é qual o ângulo de inclinação desse tubo para que o fluido continue escoando com a mesma vazão e mantendo a pressão constante ao longo de todo o percurso.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a equação de Hagen-Poiseuille para escoamento laminar em tubos. Também vamos considerar o efeito da gravidade quando o tubo está inclinado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da vazão volumétrica $ Q $ para escoamento laminar em um tubo:
Onde:
- $ r $ é o raio do tubo
- $ \Delta P $ é a diferença de pressão ao longo do tubo
- $ \eta $ é a viscosidade dinâmica
- $ L $ é o comprimento do tubo
Como o tubo está inclinado, a gravidade vai influenciar a diferença de pressão. Precisamos incluir essa influência para encontrar o ângulo de inclinação.
Passo 3
Vamos considerar que a pressão ao longo do tubo deve permanecer constante. Para isso, a força da gravidade que atua ao longo do tubo deve compensar a diferença de pressão causada pelo escoamento viscoso.
A componente da força da gravidade ao longo do tubo é dada por:
Onde:
- $ m $ é a massa do fluido
- $ g $ é a aceleração da gravidade (
) - $ \theta $ é o ângulo de inclinação
Essa força deve equilibrar a força viscosa que causa a perda de pressão.
Passo 4
A massa do fluido que passa por segundo é relacionada à vazão volumétrica $ Q $ e à massa específica $ \rho $:
Então, a força da gravidade fica:
A força viscosa, que está relacionada à diferença de pressão, pode ser expressa da equação de Hagen-Poiseuille rearranjada para $ \Delta P $:
Para manter a pressão constante, a força da gravidade deve ser igual à diferença de pressão:
Passo 5
Agora, podemos simplificar a equação. Notamos que $ Q $ aparece nos dois lados, então podemos cancelar:
Queremos encontrar $ \theta $, então vamos isolar ele:
Passo 6
Vamos agora substituir os valores conhecidos na equação. Primeiro, precisamos converter o diâmetro para o raio:
Agora, substituímos:
Passo 7
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
Denominador:
Então:
Isso não faz sentido, pois o seno de um ângulo não pode ser maior que 1. Isso indica que, com os valores fornecidos, não é possível encontrar um ângulo de inclinação que mantenha a pressão constante para a vazão dada.
Resposta
Não existe um ângulo de inclinação que permita que o fluido escoe com a mesma vazão e pressão constante ao longo do tubo com os parâmetros fornecidos.