Considere um tubo de metal cujas paredes são finas. O tubo tem um raio R e uma carga por unidade de comprimento \lambda sobre sua superfície. Obtenha expressões para E para várias distâncias r a partir do eixo do tubo, considerando ambas: (a) r>R e (b) r<R. Faça um gráfico dos seus resultados para a faixa de r=0 a r=5,0 \mathrm{~cm}, supondo que \lambda=2,0 \times 10^{-8} \mathrm{C} / \mathrm{m} e R=3,0 \mathrm{~cm}.
Passo 1
O enunciado nos dá um tubo metálico fino, de raio R, comportando carga linear \lambda em sua superfície. Pede-se o campo elétrico E(r) para dois casos: (a) r>R (fora do tubo) e (b) r<R (dentro do tubo oco). O conteúdo é a Lei de Gauss em geometria cilíndrica, que relaciona o fluxo de \mathbf{E} à carga envolvida.
Passo 2
Para r>R, escolhemos um cilindro gaussiano coaxial de raio r e comprimento L. A simetria cilíndrica implica \mathbf{E} radial e constante em toda a superfície lateral. A Lei de Gauss diz:
E(r)\,(2\pi r L) \;=\;\frac{\lambda L}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}.
Passo 3
Para r<R, estamos no interior de um condutor oco carregado. Num condutor em equilíbrio eletrostático, o campo no interior do metal (e na cavidade) é zero. Logo,
E(r) = 0 \quad\text{para}\quad r<R.
Passo 4
Agora usemos \lambda = 2{,}0\times10^{-8}\,\mathrm{C/m} e R=3{,}0\;\mathrm{cm}. Para r>R em metros,
Com \lambda=2{,}0\times10^{-8}\,\mathrm{C/m} e R=3{,}0\;\mathrm{cm}, temos na prática E=0 até r=3 cm e E(r)\approx 1{,}20\times10^4/r_\text{(cm)} V/m para r>3 cm, decaindo hiperbolicamente.]