Considere um tubo de metal cujas paredes são finas. O tubo tem um raio R e uma carga por unidade de comprimento \lambda sobre sua superfície. Obtenha expressões para E para várias distâncias r a partir do eixo do tubo, considerando ambas: (a) r>R e (b) r<R. Faça um gráfico dos seus resultados para a faixa de r=0 a r=5,0 \mathrm{~cm}, supondo que \lambda=2,0 \times 10^{-8} \mathrm{C} / \mathrm{m} e R=3,0 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado nos dá um tubo metálico fino, de raio R, comportando carga linear \lambda em sua superfície. Pede-se o campo elétrico E(r) para dois casos: (a) r>R (fora do tubo) e (b) r<R (dentro do tubo oco). O conteúdo é a Lei de Gauss em geometria cilíndrica, que relaciona o fluxo de \mathbf{E} à carga envolvida.

Passo 2

Para r>R, escolhemos um cilindro gaussiano coaxial de raio r e comprimento L. A simetria cilíndrica implica \mathbf{E} radial e constante em toda a superfície lateral. A Lei de Gauss diz:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0}.
Como só a face lateral contribui,
E(r)\,(2\pi r L) \;=\;\frac{\lambda L}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}.

Passo 3

Para r<R, estamos no interior de um condutor oco carregado. Num condutor em equilíbrio eletrostático, o campo no interior do metal (e na cavidade) é zero. Logo,
E(r) = 0 \quad\text{para}\quad r<R.

Passo 4

Agora usemos \lambda = 2{,}0\times10^{-8}\,\mathrm{C/m} e R=3{,}0\;\mathrm{cm}. Para r>R em metros,
E(r) = \frac{2{,}0\times10^{-8}}{2\pi\,(8{,}85\times10^{-12})\,r} \quad\bigl[\mathrm{V/m}\bigr].
Montando uma tabela de valores para r de 0 a 5 cm:
r (cm) : \(012345\) 
E(r) (V/m): \(0001,20\times 10^4 8,99\times 10^3 7,19\times 10^3\)

Passo 5

Gráfico qualitativo de E(r) versus r (eixo vertical em V/m, horizontal em cm):
E (V/m)
 |
 | *
 | * 
 | *
 | *
 | *
 |* * * * * * * * * *────────────────── r (cm)
\[012345\]
Entre r=0 e r=3 cm, E=0. Em r=3 cm há salto para 1{,}20\times10^4 V/m e para r>3 cm o campo decai ~ 1/r.

Resposta

E(r) = \begin{cases} 0, & r<R,\\[6pt] \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}, & r>R. \end{cases}
Com \lambda=2{,}0\times10^{-8}\,\mathrm{C/m} e R=3{,}0\;\mathrm{cm}, temos na prática E=0 até r=3 cm e E(r)\approx 1{,}20\times10^4/r_\text{(cm)} V/m para r>3 cm, decaindo hiperbolicamente.]

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