Considere um tubo de metal cujas paredes são finas. O tubo tem um raio R e uma carga por unidade de comprimento \lambda sobre sua superfície. Obtenha expressões para E para várias distâncias r a partir do eixo do tubo, considerando ambas: (a) r>R e (b) r<R. Faça um gráfico dos seus resultados para a faixa de r=0 a r=5,0 \mathrm{~cm}, supondo que \lambda=2,0 \times 10^{-8} \mathrm{C} / \mathrm{m} e R=3,0 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado trata do campo elétrico \mathbf{E} gerado por um tubo metálico cilíndrico de paredes finas, raio R, carregado com densidade linear de carga \lambda. O conteúdo envolve simetria cilíndrica e Lei de Gauss. Vamos obter (a) E(r) para r>R e (b) E(r) para r<R, e depois desenhar o comportamento de E para 0\le r\le5{,}0,cm, usando \lambda=2{,}0\times10^{-8},C/m e R=3{,}0,cm.

Passo 2

Para r>R, escolhemos um cilindro gaussiano coaxial de raio r e comprimento L. A Lei de Gauss diz:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Pela simetria, \mathbf{E} é radial e constante na superfície lateral, e não há fluxo nas faces planas. Assim,
E(r)\,(2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r},\quad r>R.

Passo 3

Para r<R, estando dentro do metal condutor em regime estacionário, o campo elétrico em qualquer ponto interno é zero:
E(r) = 0,\quad r<R.

Passo 4

Agora tabelamos alguns valores para 0\le r\le5{,}0,cm ( r em cm, E em kV/m):
r (cm) E(r) (kV/m)
0,0 0,
1,0 0,
2,0 0,
3,0 12,0,
4,0 9,0,
5,0 7,2,
Gráfico qualitativo de E vs.\ r:
– De r=0 a r=3{,}0,cm, E=0.
– Em r=3{,}0,cm salta para E=12{,}0,kV/m e, para r>3{,}0,cm, decai como 1/r, atingindo 7{,}2,kV/m em 5,0 cm.

Resposta

(a) E(r)=0,\quad r<R.
(b) E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r},\quad r>R.

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