5- Considere um tubo de parede fina fechado na extremidade e submetido a uma pressão interna P. Calcule a razão entre a deformação axial e a deformação radial assumindo regime elástico e que E=10^7 psi e v=1 / 3. O comprimento do tubo aumentará, diminuirá ou se manterá constante? (1,5 pto)

Passo 1

O enunciado fala de um tubo de parede fina, fechado em uma das extremidades, suportando uma pressão interna P. Queremos a razão entre a deformação axial ( varepsilonz) e a deformação radial (que aqui coincide com a deformação circunferencial varepsilontheta), no regime elástico linear, sabendo que o módulo de Young é E=10^7 psi e o coeficiente de Poisson é v=1/3. Para isso vamos precisar de:
  1. As tensões de parede fina em tubo fechado (tensão hoop e axial).
  2. A lei de Hooke tridimensional para um corpo em estado plano de tensões.

Passo 2

Em regime de parede fina, desprezamos a tensão radial sigmarapprox0. Para um tubo fechado, as tensões em função da pressão interna P, do raio médio r e da espessura t são:
sigmatheta = P,rt (tensão hoop), ã
sigmaz = P,r2,t (tensão axial) ã

Passo 3

Pela lei de Hooke para deformações em coordenadas cilíndricas, a deformação axial é
varepsilonz = 1El(sigmaz - v,sigmatheta - v,sigmarr) = 1El(P,r2t - v,P,rtr) = P,rE,tl(tfrac12 - vr)

Passo 4

A deformação radial (circunferencial) é
varepsilontheta = 1El(sigmatheta - v,sigmaz - v,sigmarr) = 1El(P,rt - v,P,r2tr) = P,rE,tl(1 - tfracv2r)

Passo 5

Fazendo a razão varepsilonzvarepsilontheta:
varepsilonzvarepsilontheta = tfracP,rE,tl(tfrac12 - vr)tfracP,rE,tl(1 - tfracv2r) = tfrac12 - v1 - tfracv2
Substituindo v=tfrac13:
varepsilonzvarepsilontheta = tfrac12 - tfrac131 - tfrac16 = tfrac16tfrac56 = tfrac15 = 0,2

Passo 6

Como tfrac12 - v = tfrac16>0, as deformações axial e radial são ambas positivas, ou seja, o tubo aumenta de comprimento e de raio.

Resposta

varepsilonzvarepsilontheta = 0,2
O comprimento do tubo aumenta.

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