Exercício 4 A empresa Apollo fabrica agendas eletrônicas a custo variável de
dólares, onde denota o número de unidades fabricadas por mês. O custo fixo mensal da divisão que produz essas agendas eletrônicas é de 100.000$. Determine:
a) a função que fornece o custo total da fabricação de agendas eletrônicas.
b) qual é o custo total da produção de 2.000 unidades/mês? Neste cenário qual o custo médio?
c) suponha que o total arrecadado pela Apollo a partir da venda de x agendas eletrônicas é dado pela função receita total
onde é medido em dólares. Determine a função lucro total. Qual é o lucro quando 1.500 unidades são produzidas e vendidas por mês.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a Apollo tem:
  • Custo variável por mês dado por
    CV(x)=0.000003,x^3-0.03,x^2+200,x,
  • Custo fixo mensal CF=100.000.
    Depois, ele pede:
    a) montar a função de custo total CT(x);
    b) calcular CT(2000) e o custo médio nessa produção;
    c) com receita R(x)=-0.1,x^2+500,x, achar a função lucro pi(x) e pi(1500).
Conteúdo: função polinomial, soma de funções, avaliação de polinômio, divisão pra custo médio e subtração pra lucro. Vamos usar toda a teoria do básico, do tipo “some, avalie e divida” sem pular etapa.

Passo 2

(a) Custo total = custo variável + custo fixo.
Teoria: custo fixo é constante, custo variável é função de x. Basta somar as duas funções:
CT(x)=CV(x)+CF =l(0.000003,x^3-0.03,x^2+200,xr)+100000
Logo
boxedCT(x)=0.000003,x^3-0.03,x^2+200,x+100000

Passo 3

(b) Queremos CT(2000) e o custo médio CT(x)x em x=2000.
  1. Avaliando cada termo em x=2000:
    • 0.000003cdot2000^3=0.000003cdot8.000.000.000=24000,
    • -0.03cdot2000^2=-0.03cdot4.000.000=-120000,
    • 200cdot2000=400000,
    • o fixo é 100000.
  2. Somando:
CT(2000)=24000-120000+400000+100000=404000
  1. Custo médio = CT(2000)2000=4040002000=202.
Então:
boxedCT(2000)=$404,000e Cmédio(2000)=$202 por unidade é

Passo 4

(c) Lucro total pi(x)=R(x)-CT(x).
  1. Escrevendo:
pi(x) =l(-0.1x^2+500xr) -l(0.000003x^3-0.03x^2+200x+100000r)
  1. Distribuindo o sinal “menos” e juntando termos semelhantes:
pi(x) =-0.000003,x^3 +(-0.1+0.03),x^2 +(500-200),x -100000
pi(x)=-0.000003,x^3-0.07,x^2+300,x-100000
  1. Agora pi(1500):
    • 1500^3=3,375times10^9, então -0.000003cdot3,375times10^9=-10125,
    • -0.07cdot1500^2=-0.07cdot2,250,000=-157500,
    • 300cdot1500=450000,
    • e o constante é -100000.
      Somando:
pi(1500)=-10125-157500+450000-100000=182375

Resposta

a)
b) 404{,}000 é=$202.

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