6- Tem sido mencionado que a deformação plástica ocorre sem mudança no volume. Partindo de um bloco de volume (lwt) mostre que d varepsilon1+d varepsilon2+d varepsilon3=0.

Passo 1

O enunciado diz que na deformação plástica não há variação de volume. Vamos considerar um bloco cujas arestas têm comprimentos l, w e t, de modo que seu volume inicial é
V = l,w,t
O objetivo é relacionar as variações diferenciais dos comprimentos com a variação diferencial do volume e mostrar que
dvarepsilon1 + dvarepsilon2 + dvarepsilon3 = 0,
onde dvarepsilon1, dvarepsilon2, dvarepsilon3 são as deformações lineares nos eixos correspondentes a l, w e t.

Passo 2

Após uma deformação infinitesimal, os comprimentos passam a ser l + dl, w + dw e t + dt. Logo, o volume final fica
V + dV = (l + dl),(w + dw),(t + dt)

Passo 3

Para relacionar dV com dl, dw e dt basta expandir o produto, desprezando termos de ordem superior (por exemplo dl,dw, dl,dt, etc.). Assim,
V + dV &= l,w,t +,w,t,dl +,l,t,dw +,l,w,dt + (termos de 2ª ordem) &approx l,w,t ;+; w,t,dl ;+; l,t,dw ;+; l,w,dt ª
Portanto,
dV = w,t,dl + l,t,dw + l,w,dt

Passo 4

Como a deformação é isocórica (sem variação de volume), temos dV=0. Substituindo na expressão acima e dividindo ambos os lados por V = l,w,t, obtemos
0 = w,t,dl + l,t,dw + l,w,dtl,w,t = dll + dww + dtt

Passo 5

Por definição, as deformações lineares diferenciais nos três eixos são
dvarepsilon1 = dll, dvarepsilon2 = dww, dvarepsilon3 = dtt
Logo, a condição
dll + dww + dtt = 0
vira exatamente
dvarepsilon1 + dvarepsilon2 + dvarepsilon3 = 0

Resposta

Mostramos que, para deformação plástica isocórica,
dvarepsilon1 + dvarepsilon2 + dvarepsilon3 = 0

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