Considere uma tubulação de Cobre de 100 m de comprimento que transporta vapor de água à 150^{\circ} \mathrm{C}, mas exposto ao meio ambiente \left(25^{\circ} \mathrm{C}\right), com as seguintes características técnicas:
kCu 450 W/m.K
hint 100 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2 \mathrm{~K}
Dint 12 cm
Dext 15 cm
hext 10 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2 \mathrm{~K}
Sisol 5 cm
kisol 0,5 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}
Custo Energético (1.10^{-5} \mathrm{R}
) / \mathrm{J}$
*CUIDADO, o valor da espessura deve ser somado ao raio externo ou duas vezes ao diâmetro externo.
Calcule a diferença em módulo entre as taxas de calores perdidos com e sem o isolante.
Resposta:

Passo 1

O enunciado pede a diferença em módulo entre as taxas de calor perdidas por unidade de tempo (fluxo térmico) numa tubulação de cobre de comprimento L=100\\ \mathrm{m}, transportando vapor a T_i=150^\circ\mathrm{C} e exposta ao ambiente a T_e=25^\circ\mathrm{C}. Vamos usar o modelo de resistências térmicas em série para cilindro com convecção interna, condução no metal, condução no isolante (quando houver) e convecção externa.

Passo 2

Definimos as dimensões:
D_{\rm int}=0{,}12\\ \mathrm{m},\quad r_1=\frac{D_{\rm int}}{2}=0{,}06\\ \mathrm{m},
D_{\rm ext}=0{,}15\\ \mathrm{m},\quad r_2=\frac{D_{\rm ext}}{2}=0{,}075\\ \mathrm{m},
espessura do isolante s=0{,}05\\ \mathrm{m} implica raio externo do isolante
r_3=r_2+s=0{,}075+0{,}05=0{,}125\\ \mathrm{m}.
As áreas internas e externas valem
A_{\rm int}=\pi D_{\rm int}L,\quad A_{\rm ext}=\pi D_{\rm ext}L, \quad A_{\rm ext,iso}=\pi\,(2r_3)\,L.

Passo 3

Sem isolante, a resistência térmica total é
R_{\rm sem}=R_{\rm conv,int}+R_{\rm cond,Cu}+R_{\rm conv,ext},
onde
R_{\rm conv,int}=\frac{1}{h_{\rm int}\,A_{\rm int}} =\frac{1}{100\cdot\pi\cdot0{,}12\cdot100} \approx2{,}65\times10^{-4}\\ \mathrm{K/W},
R_{\rm cond,Cu} =\frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k_{\rm Cu}L} =\frac{\ln(0{,}075/0{,}06)}{2\pi\cdot450\cdot100} \approx7{,}9\times10^{-7}\\ \mathrm{K/W},
R_{\rm conv,ext} =\frac{1}{h_{\rm ext}\,A_{\rm ext}} =\frac{1}{10\cdot\pi\cdot0{,}15\cdot100} \approx2{,}12\times10^{-3}\\ \mathrm{K/W}.
Somando,
R_{\rm sem}\approx0{,}000265+0{,}00000079+0{,}00212 =0{,}002387\\ \mathrm{K/W}.

Passo 4

O fluxo térmico sem isolante é
\dot Q_{\rm sem} =\frac{T_i-T_e}{R_{\rm sem}} =\frac{150-25}{0{,}002387} \approx5{,}24\times10^{4}\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Com isolante, a resistência externa soma a condução no isolante e a nova convecção externa:
R_{\rm com} =R_{\rm conv,int}+R_{\rm cond,Cu}+R_{\rm cond,iso}+R_{\rm conv,ext,iso},
R_{\rm cond,iso} =\frac{\ln(r_3/r_2)}{2\pi k_{\rm iso}L} =\frac{\ln(0{,}125/0{,}075)}{2\pi\cdot0{,}5\cdot100} \approx1{,}63\times10^{-3}\\ \mathrm{K/W},
R_{\rm conv,ext,iso} =\frac{1}{h_{\rm ext}\,A_{\rm ext,iso}} =\frac{1}{10\cdot\pi\cdot(2\cdot0{,}125)\cdot100} \approx1{,}27\times10^{-3}\\ \mathrm{K/W}.
Somando todas:
R_{\rm com}\approx0{,}000265+0{,}00000079+0{,}001625+0{,}001273 =0{,}003164\\ \mathrm{K/W}.

Passo 6

O fluxo térmico com isolante é
\dot Q_{\rm com} =\frac{150-25}{0{,}003164} \approx3{,}95\times10^{4}\\ \mathrm{W}.

Passo 7

A diferença em módulo entre as duas taxas é
\bigl|\dot Q_{\rm sem}-\dot Q_{\rm com}\bigr| \approx5{,}24\times10^{4}-3{,}95\times10^{4} =1{,}29\times10^{4}\\ \mathrm{W}.

Resposta

A diferença em módulo entre as taxas de calor perdidos com e sem isolante é aproximadamente
1{,}29\times10^{4}\\ \mathrm{W}.

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