Considere
e
.
(1) Calcule
.
(2) Seja
. Mostre que
.
(3) Interprete geometricamente o vetor
.
(1) Calcule
(2) Seja
(3) Interprete geometricamente o vetor
Passo 1
O enunciado nos dá dois vetores em
:
e pede:
- Calcular
. - Definir
e mostrar que . - Dar a interpretação geométrica de
.
O conteúdo aqui é projeção ortogonal de vetores e perpendicularidade.
Passo 2
A projeção de
sobre
é dada pela fórmula
Primeiro calculamos os produtos internos:
Logo,
Passo 3
Definimos o vetor residual
Para verificar a perpendicularidade, calculamos
Assim,
.
Passo 4
Geometricamente,
é o componente de
ortogonal à reta gerada por
.
Em outras palavras, é a “sombra” de
sobre a direção de
, e
é o vetor que sai dessa reta até
, formando um ângulo de
com
.
Em outras palavras,
Resposta
(1)
.
(2) Definindo , temos
.
(3) é o componente de
perpendicular à reta
, ou seja, o “resíduo” ortogonal da projeção.
(2) Definindo
(3)