Considere u=(3,4,12) e v=(1,2,2).
(1) Calcule \operatorname{proj}_{v}(u).
(2) Seja w=u-\operatorname{proj}_{v}(u). Mostre que w \cdot v=0.
(3) Interprete geometricamente o vetor w.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
u=(3,4,12),\quad v=(1,2,2),
e pede:
  1. Calcular \mathrm{proj}_{v}(u).
  2. Definir w = u - \mathrm{proj}_{v}(u) e mostrar que w\cdot v = 0.
  3. Dar a interpretação geométrica de w.
    O conteúdo aqui é projeção ortogonal de vetores e perpendicularidade.

Passo 2

A projeção de u sobre v é dada pela fórmula
\mathrm{proj}_{v}(u)\;=\;\frac{u\cdot v}{v\cdot v}\;v.
Primeiro calculamos os produtos internos:
u\cdot v = 3\cdot1 + 4\cdot2 + 12\cdot2 = 3 + 8 + 24 = 35,
v\cdot v = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9.
Logo,
\mathrm{proj}_{v}(u) = \frac{35}{9}\,v = \Bigl(\tfrac{35}{9},\,\tfrac{70}{9},\,\tfrac{70}{9}\Bigr).

Passo 3

Definimos o vetor residual
w = u - \mathrm{proj}_{v}(u) = \Bigl(3 - \tfrac{35}{9},\;4 - \tfrac{70}{9},\;12 - \tfrac{70}{9}\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{8}{9},\,-\tfrac{34}{9},\,\tfrac{38}{9}\Bigr).
Para verificar a perpendicularidade, calculamos
w\cdot v = \Bigl(-\tfrac{8}{9}\Bigr)\cdot1 + \Bigl(-\tfrac{34}{9}\Bigr)\cdot2 + \Bigl(\tfrac{38}{9}\Bigr)\cdot2 = \frac{-8 -68 +76}{9} = 0.
Assim, w\cdot v=0.

Passo 4

Geometricamente, w é o componente de u ortogonal à reta gerada por v.
Em outras palavras, \mathrm{proj}_{v}(u) é a “sombra” de u sobre a direção de v, e w é o vetor que sai dessa reta até u, formando um ângulo de 90^\circ com v.

Resposta

(1) \mathrm{proj}_{v}(u)=\tfrac{35}{9}\,(1,2,2).
(2) Definindo w=u-\mathrm{proj}_{v}(u)=(-\tfrac{8}{9},-\tfrac{34}{9},\tfrac{38}{9}), temos w\cdot v=0.
(3) w é o componente de u perpendicular à reta \mathrm{span}\{v\}, ou seja, o “resíduo” ortogonal da projeção.

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