Determine as equações que descrevem os lugares geométricos abaixo, classificando-as e fazendo o esboço das mesmas:
Lugar geométrico dos pontos que são centros dos círculos que são tangentes simultaneamente à reta y=1 \mathrm{e} ao círculo x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos (h,k) que são centros de círculos simultaneamente tangentes à reta \;y=1\; e ao círculo \;x^2+y^2=9.
Conteúdo: geometria analítica de círculos e lugar geométrico por condições de tangência.

Passo 2

Seja r o raio de um círculo com centro (h,k).
  1. Tangência à reta \;y=1: a distância do centro à reta vale r, ou seja
r = \bigl|k - 1\bigr|.
  1. Tangência ao círculo \;x^2+y^2=9: a distância entre centros menos o raio 3 do círculo fixo, em valor absoluto, é igual a r, isto é
\bigl|\sqrt{h^2 + k^2}\;-\;3\bigr| = r.

Passo 3

Igualando as duas expressões de r, obtemos
\bigl|\sqrt{h^2 + k^2}\;-\;3\bigr| \;=\;\bigl|k - 1\bigr|.
Isso gera dois casos de tangência (externa e interna):
Caso A (externa):
\sqrt{h^2 + k^2} \;-\;3 = k - 1 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{h^2 + k^2} = k + 2.
Caso B (interna):
\sqrt{h^2 + k^2} \;-\;3 = -(k - 1) \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{h^2 + k^2} = 4 - k.

Passo 4

Resolver cada caso por quadratura:
Caso A:
\sqrt{h^2 + k^2} = k + 2 \;\Longrightarrow\; h^2 + k^2 = (k+2)^2 = k^2 + 4k + 4 \;\Longrightarrow\; h^2 = 4k + 4 \;\Longrightarrow\; k = \frac{h^2 - 4}{4}.
Em coordenadas usuais (x,y):
y = \frac{x^2}{4} \;-\; 1,
com a restrição k+2\ge0\implies y\ge -2.
Caso B:
\sqrt{h^2 + k^2} = 4 - k \;\Longrightarrow\; h^2 + k^2 = (4-k)^2 = k^2 -8k +16 \;\Longrightarrow\; h^2 = -8k +16 \;\Longrightarrow\; k = 2 - \frac{h^2}{8}.
Em (x,y):
y = 2 \;-\; \frac{x^2}{8},
com a restrição 4 - k\ge0\implies y\le4.

Passo 5

Cada ramo é uma parábola de eixo vertical:
  1. y = \tfrac{x^2}{4} -1, vértice em (0,-1), abre para cima, válido onde y\ge -2.
  2. y = 2 - \tfrac{x^2}{8}, vértice em (0,2), abre para baixo, válido onde y\le4.
No esboço, ambas compartilham o eixo Oy, uma acima da outra, cruzando o eixo Ox nos pontos adequados.

Resposta

As equações do lugar geométrico dos centros são
\boxed{y = \frac{x^2}{4} - 1\quad(\text{parábola para }y\ge-2)} \quad\text{e}\quad \boxed{y = 2 - \frac{x^2}{8}\quad(\text{parábola para }y\le4).}áá
Ambas são parábolas com eixo vertical, vértices em (0,-1) e (0,2), respectivamente.

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