Um triângulo tem vértices A=(1,2,3), B=(2,0,1) e C=(4,1,-1).
  • Calcule os vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.
    (2) Determine o ângulo \widehat{B A C} usando produto escalar.
    (3) Encontre a área do triângulo A B C.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com vértices
A=(1,2,3),\quad B=(2,0,1),\quad C=(4,1,-1)
e pede:
  1. Os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
  2. O ângulo \widehat{BAC} usando produto escalar.
  3. A área do triângulo ABC.
    Para isso, vamos usar definições de subtração de vetores, produto escalar, norma de vetor, fórmula do ângulo e produto vetorial.

Passo 2

Calculamos os vetores a partir das coordenadas:
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\;0-2,\;1-3)=(1,\,-2,\,-2),
\overrightarrow{AC}=C-A=(4-1,\;1-2,\;-1-3)=(3,\,-1,\,-4).

Passo 3

Para o ângulo \theta=\widehat{BAC} usamos
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =1\cdot3+(-2)\cdot(-1)+(-2)\cdot(-4) =3+2+8=13,
as normas
\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{9}=3,
\|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{3^2+(-1)^2+(-4)^2}=\sqrt{26},
e a relação
\cos\theta =\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}} {\|\overrightarrow{AB}\|\;\|\overrightarrow{AC}\|} =\frac{13}{3\sqrt{26}}.
Assim,
\theta =\operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{13}{3\sqrt{26}}\Bigr) \approx31,79^\circ.

Passo 4

A área do triângulo é metade da norma do produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Primeiro
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&-2&-2\\\\ 3&-1&-4 \end{vmatrix} =(6)\,\mathbf{i}-\bigl(2\bigr)\,\mathbf{j}+(5)\,\mathbf{k} =(6,\,-2,\,5).
A norma é
\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\| =\sqrt{6^2+(-2)^2+5^2} =\sqrt{36+4+25} =\sqrt{65},
logo a área vale
\mathcal{A} =\frac12\,\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\| =\frac12\sqrt{65}.

Resposta

\overrightarrow{AB}=(1,-2,-2) \overrightarrow{AC}=(3,-1,-4) \widehat{BAC}=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{13}{3\sqrt{26}}\bigr)\approx31,79^\circ \text{Área}(ABC)=\tfrac12\sqrt{65}Á

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