Sejam u=(1,2,3,4), v=(2,-1,0,3) e w=(0,1,-1,2). Verifique se w pode ser escrito como uma combinação linear de u e v de forma que ele seja ortogonal a u.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \;u=(1,2,3,4), \;v=(2,-1,0,3) e \;w=(0,1,-1,2). Queremos ver se existe uma combinação linear
x = \alpha\,u + \beta\,v
tal que x seja ortogonal a u e ao mesmo tempo x = w.
O conteúdo usado será o produto interno em \mathbb{R}^4 e a condição de ortogonalidade x \cdot u = 0.

Passo 2

Para que x=\alpha\,u+\beta\,v seja ortogonal a u, devemos ter
x \cdot u = (\alpha\,u + \beta\,v)\cdot u = \alpha\,(u\cdot u) + \beta\,(v\cdot u) = 0.
Calculemos os produtos internos:
u\cdot u = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 +16 = 30,
v\cdot u = 2\cdot1 + (-1)\cdot2 + 0\cdot3 + 3\cdot4 = 2 -2 + 0 +12 = 12.

Passo 3

A condição x\cdot u=0 vira
30\,\alpha + 12\,\beta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \beta = -\frac{30}{12}\,\alpha = -\frac{5}{2}\,\alpha.
Então todo vetor ortogonal a u na forma \alpha\,u+\beta\,v é
x = \alpha\,u - \tfrac{5}{2}\alpha\,v = \alpha\bigl(u - \tfrac{5}{2}v\bigr).

Passo 4

Calculemos o vetor u - \tfrac{5}{2}v:
u - \tfrac{5}{2}v = \bigl(1,2,3,4\bigr) - \tfrac{5}{2}\bigl(2,-1,0,3\bigr) = \bigl(1-5,\;2+\tfrac{5}{2},\;3-0,\;4-\tfrac{15}{2}\bigr) = \bigl(-4,\;\tfrac{9}{2},\;3,\;-{\tfrac{7}{2}}\bigr).

Passo 5

Para ter x=w seria preciso
w = (0,1,-1,2) = \alpha\bigl(-4,\;\tfrac{9}{2},\;3,\;-\tfrac{7}{2}\bigr).
Da primeira coordenada vem -4\alpha=0, logo \alpha=0. Mas isso faria todas as coordenadas de x nulas, o que não coincide com w. Portanto não há nenhum \alpha que satisfaça todas as quatro igualdades simultaneamente.

Resposta

Não. Não existe combinação linear de u e v que seja ortogonal a u e ao mesmo tempo igual a w.

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