Determine as equações que descrevem os lugares geométricos abaixo, classificando-as e fazendo o esboço das mesmas:
Lugar geométrico dos pontos equidistantes ao círculo x^{2}+y^{2}=1 e ao eixo O x.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que a distância até o círculo
x^{2}+y^{2}=1
é igual à distância até o eixo Ox. O conteúdo aqui envolve definir distância de um ponto a um círculo e a uma reta e montar a equação do lugar geométrico.

Passo 2

A distância de (x,y) ao círculo \,x^{2}+y^{2}=1, é
d_{\text{círculo}}=\bigl|\sqrt{x^{2}+y^{2}}-1\bigr|,í
pois \sqrt{x^{2}+y^{2}} é a distância ao centro e subtraímos o raio 1, tomando valor absoluto. A distância ao eixo Ox é
d_{Ox}=|y|.
Igualando essas distâncias, obtemos a equação fundamental do lugar geométrico:
\bigl|\sqrt{x^{2}+y^{2}}-1\bigr| = |y|.

Passo 3

Vamos separar em dois casos para remover os módulos. Caso 1:
\sqrt{x^{2}+y^{2}}-1 = y.
Reescrevendo,
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 1 + y,
e elevando ao quadrado,
x^{2}+y^{2} = (1+y)^{2} = 1 + 2y + y^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = 1 + 2y \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{x^{2}-1}{2}.
Esse ramo só faz sentido quando \sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge1, ou seja, x^{2}+y^{2}\ge1.

Passo 4

Caso 2:
-(\sqrt{x^{2}+y^{2}}-1) = y \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^{2}+y^{2}} = 1 - y.
Elevando ao quadrado,
x^{2}+y^{2} = (1-y)^{2} = 1 - 2y + y^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = 1 - 2y \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1 - x^{2}}{2}.
Aqui vale \sqrt{x^{2}+y^{2}}\le1, ou seja, x^{2}+y^{2}\le1.

Passo 5

Cada uma dessas equações é uma parábola com eixo vertical e simetria em relação ao eixo y.
  • Para y=(x^{2}-1)/2: vértice em (0,-\tfrac12), abre para cima e vale na região externa ao círculo x^{2}+y^{2}\ge1.
  • Para y=(1-x^{2})/2: vértice em (0,\tfrac12), abre para baixo e vale na região interna ao círculo x^{2}+y^{2}\le1.
    Elas se tocam nos pontos de interseção com o círculo, que ocorrem em (\pm1,0).

Resposta

As equações do lugar geométrico são
\boxed{y = \frac{x^{2}-1}{2},\quad x^{2}+y^{2}\ge1} \quad\text{e}\quad \boxed{y = \frac{1 - x^{2}}{2},\quad x^{2}+y^{2}\le1},
ambas parábolas simétricas em relação ao eixo y, com vértices em (0,-\tfrac12) e (0,\tfrac12), unindo-se nos pontos (\pm1,0).

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