Considere
Complete a base de
(dada acima) para uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto
. Isso quer dizer que qualquer vetor em
tem a forma
. Nosso objetivo aqui é completar uma base desse conjunto
para formar uma base completa do espaço
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços vetoriais, bases e dimensionalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma base para
. Observando a forma dos vetores em
, percebemos que qualquer vetor
pode ser escrito como uma combinação linear de dois vetores básicos:
Então, uma base para
é composta pelos vetores
e
.
Passo 3
Agora, precisamos completar essa base para formar uma base de
. Sabemos que uma base de
precisa ter 4 vetores que sejam linearmente independentes. Já temos 2 vetores na base de
, então faltam mais 2 vetores.
Passo 4
Vamos escolher vetores que não sejam combinações lineares dos que já temos. Por exemplo, podemos escolher
e
. Mas primeiro, vamos verificar se eles são realmente linearmente independentes dos vetores da base de
.
Para
:
- Se tentarmos escrever
como uma combinação de e , não conseguimos encontrar números e tais que:
Isso porque o terceiro componente ficaria
, mas o primeiro componente exigiria
, o que é impossível. Então,
é independente.
Para
:
- Da mesma forma, tentamos:
Isso nos dá o sistema:
Também impossível, então
é independente.
Passo 5
Como ambos os vetores
e
são linearmente independentes dos vetores da base de
, podemos adicioná-los à nossa base sem problemas. Agora temos 4 vetores que são todos linearmente independentes, formando uma base completa do espaço
.
Resposta
Então, uma base para
que completa a base de
é: