Considere
U=(x, y, x, y) in R^4: x, y in R
Complete a base de U (dada acima) para uma base de R^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto U = (x, y, x, y) in R^4 : x, y in R . Isso quer dizer que qualquer vetor em U tem a forma (x, y, x, y). Nosso objetivo aqui é completar uma base desse conjunto U para formar uma base completa do espaço R^4 . Para isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços vetoriais, bases e dimensionalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma base para U . Observando a forma dos vetores em U , percebemos que qualquer vetor (x, y, x, y) pode ser escrito como uma combinação linear de dois vetores básicos:
(x, y, x, y) = x cdot (1, 0, 1, 0) + y cdot (0, 1, 0, 1)
Então, uma base para U é composta pelos vetores (1, 0, 1, 0) e (0, 1, 0, 1) .

Passo 3

Agora, precisamos completar essa base para formar uma base de R^4 . Sabemos que uma base de R^4 precisa ter 4 vetores que sejam linearmente independentes. Já temos 2 vetores na base de U , então faltam mais 2 vetores.

Passo 4

Vamos escolher vetores que não sejam combinações lineares dos que já temos. Por exemplo, podemos escolher (1, 0, 0, 0) e (0, 1, 1, 0) . Mas primeiro, vamos verificar se eles são realmente linearmente independentes dos vetores da base de U .
Para (1, 0, 0, 0) :
  • Se tentarmos escrever (1, 0, 0, 0) como uma combinação de (1, 0, 1, 0) e (0, 1, 0, 1) , não conseguimos encontrar números a e b tais que:
a(1, 0, 1, 0) + b(0, 1, 0, 1) = (1, 0, 0, 0)
Isso porque o terceiro componente ficaria a = 0 , mas o primeiro componente exigiria a = 1 , o que é impossível. Então, (1, 0, 0, 0) é independente.
Para (0, 1, 1, 0) :
  • Da mesma forma, tentamos:
a(1, 0, 1, 0) + b(0, 1, 0, 1) = (0, 1, 1, 0)
Isso nos dá o sistema:
a = 0 b = 1 a = 1 b = 0
Também impossível, então (0, 1, 1, 0) é independente.

Passo 5

Como ambos os vetores (1, 0, 0, 0) e (0, 1, 1, 0) são linearmente independentes dos vetores da base de U , podemos adicioná-los à nossa base sem problemas. Agora temos 4 vetores que são todos linearmente independentes, formando uma base completa do espaço R^4 .

Resposta

Então, uma base para R^4 que completa a base de U é:
, (1, 0, 1, 0), ; (0, 1, 0, 1), ; (1, 0, 0, 0), ; (0, 1, 1, 0) ,

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