Justifique por que 6 impossivel ter 5 vetores Linearmente Independentes em R^4.

Passo 1

O enunciado pede para justificar por que não é possível existir um conjunto de cinco vetores linearmente independentes em R^4. Vamos usar conceitos de espaço vetorial, base e dimensão.

Passo 2

Lembrando que a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores de qualquer base desse espaço. Em particular, sabe-se que
dim(R^4) = 4
Isso significa que toda base de R^4 tem exatamente quatro vetores, e não há como ter uma base com mais de quatro vetores.

Passo 3

Existe um teorema fundamental que diz:
Seja V um espaço vetorial com dim(V)=n. Então qualquer conjunto de mais de n vetores em V é necessariamente linearmente dependente.
Aplicando em R^4 (onde n=4), qualquer conjunto de cinco vetores em R^4 não pode ser linearmente independente.

Passo 4

Alternativamente, podemos ver isso pela forma de matriz. Suponha que tenhamos cinco vetores v1,dots,v5 em R^4. Colocando-os como colunas de uma matriz A de tamanho 4times5, o posto (rank) de A satisfaz
rank(A)<= min(4,5)=4
Logo as cinco colunas não podem ser todas pivôs independentes, o que implica que há uma combinação linear não-trivial que zera essas colunas — isto é, elas são linearmente dependentes.

Resposta

Não existe conjunto de cinco vetores linearmente independentes em R^4 porque dim(R^4)=4, e qualquer conjunto com mais de quatro vetores em um espaço de dimensão quatro é linearmente dependente.

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