Justifique por que 6 impossivel ter 5 vetores Linearmente Independentes em
.
Passo 1
O enunciado pede para justificar por que não é possível existir um conjunto de cinco vetores linearmente independentes em
. Vamos usar conceitos de espaço vetorial, base e dimensão.
Passo 2
Lembrando que a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores de qualquer base desse espaço. Em particular, sabe-se que
Isso significa que toda base de
tem exatamente quatro vetores, e não há como ter uma base com mais de quatro vetores.
Passo 3
Existe um teorema fundamental que diz:
Seja um espaço vetorial com
. Então qualquer conjunto de mais de
vetores em
é necessariamente linearmente dependente.
Aplicando em (onde
), qualquer conjunto de cinco vetores em
não pode ser linearmente independente.
Seja
Aplicando em
Passo 4
Alternativamente, podemos ver isso pela forma de matriz. Suponha que tenhamos cinco vetores
em
. Colocando-os como colunas de uma matriz
de tamanho
, o posto (rank) de
satisfaz
Logo as cinco colunas não podem ser todas pivôs independentes, o que implica que há uma combinação linear não-trivial que zera essas colunas — isto é, elas são linearmente dependentes.
Resposta
Não existe conjunto de cinco vetores linearmente independentes em
porque
, e qualquer conjunto com mais de quatro vetores em um espaço de dimensão quatro é linearmente dependente.