é uma base de M2times2(R). Isso envolve provar que eles geram todo o espaço e são linearmente independentes. Em seguida, generalizaremos para Mmtimes n(R).
Passo 2
(Spanning) Seja uma matriz arbitrária
Observe que
Logo, todo pode ser escrito como combinação linear de , ou seja, eles geram .
Comparando entradas, obtemos alpha=0, beta=0, gamma=0 e de<a=0. Assim, não há combinação não-trivial que dê a matriz zero, provando a independência linear.
Passo 4
Generalizando para Mmtimes n(R), definimos Eij como a matriz que tem 1 na posição (i,j) e 0 nas demais. Então
,Eijmid 1<= i<= m,;1<= j<= n
é um conjunto que gera todo Mmtimes n(R) (cada entrada aij de uma matriz A aparece como coeficiente de Eij) e é linearmente independente pelo mesmo argumento de comparação de entradas.
Resposta
Uma base de Mmtimes n(R) é
,Eijmid 1<= i<= m,;1<= j<= n,
onde (Eij)kl=de<aikde<ajl. A dimensão desse espaço é