Mostre que o conjunto [ll1 & 0 0 & 0],[ll0 & 1 0 & 0],[ll0 & 0 1 & 0],[ll0 & 0 0 & 1] é uma base de M2 times 2[R]. Apresente uma base para o espaço vetorial R^man=Mman[R]. Qual a dimensão deste espaço?

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
M1 = 1&00&0, M2 = 0&10&0, M3 = 0&01&0, M4 = 0&00&1
é uma base de M2times2(R). Isso envolve provar que eles geram todo o espaço e são linearmente independentes. Em seguida, generalizaremos para Mmtimes n(R).

Passo 2

(Spanning) Seja uma matriz arbitrária
Observe que
Logo, todo pode ser escrito como combinação linear de , ou seja, eles geram .

Passo 3

(Independência linear) Suponha que
alpha M1 + beta M2 + gamma M3 + de<a M4 = 02times2
Isso dá
alpha&betagamma&de<a = 0&00&0
Comparando entradas, obtemos alpha=0, beta=0, gamma=0 e de<a=0. Assim, não há combinação não-trivial que dê a matriz zero, provando a independência linear.

Passo 4

Generalizando para Mmtimes n(R), definimos Eij como a matriz que tem 1 na posição (i,j) e 0 nas demais. Então
,Eijmid 1<= i<= m,;1<= j<= n
é um conjunto que gera todo Mmtimes n(R) (cada entrada aij de uma matriz A aparece como coeficiente de Eij) e é linearmente independente pelo mesmo argumento de comparação de entradas.

Resposta

Uma base de Mmtimes n(R) é
,Eijmid 1<= i<= m,;1<= j<= n,
onde (Eij)kl=de<aikde<ajl. A dimensão desse espaço é
dim Mmtimes n(R) = m,n

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