(2 pontos) Esboce detalhadamente a região do plano definido pelo sistema de inequações dado:
R:\left\{\begin{aligned} x^{2}+y^{2} & \geq 4 \\\\ -4 x^{2}+y^{2}-4 y & <0 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da região
R:\begin{cases} x^{2}+y^{2}\ge4,\\\\ -4x^{2}+y^{2}-4y<0. \end{cases}
Aqui o conteúdo é análise de regiões no plano definidas por inequações: uma é o complemento do disco de raio 2 (externo ao círculo de raio 2), e a outra é o interior de uma hipérbole. Vamos estudar cada curva fronteira separadamente e depois obter o lugar geométrico conjunto.

Passo 2

Analisando a primeira inequação x^{2}+y^{2}\ge4:
– A fronteira é o círculo
x^{2}+y^{2}=4,
centro em (0,0) e raio 2.
– A desigualdade \ge indica a região externa a esse círculo (incluindo a própria curva).

Passo 3

Analisando a segunda inequação -4x^{2}+y^{2}-4y<0:
  1. Reescrevemos em forma canônica de hipérbole.
y^{2}-4y-4x^{2}<0 \quad\Longrightarrow\quad (y-2)^{2}-4-4x^{2}<0 \quad\Longrightarrow\quad (y-2)^{2}-4x^{2}<4
  1. Dividindo tudo por 4, fica
\frac{(y-2)^{2}}{4}-x^{2}<1.
A equação de fronteira
\frac{(y-2)^{2}}{4}-x^{2}=1
é uma hipérbole com centro em (0,2), semi-eixo vertical a=2 e horizontal b=1. As assíntotas são
y-2=\pm2x, \quad\text{i.e.}\quad y=2\pm2x.
  1. Como o sinal é “ <1”, a região satisfazente é o interior da hipérbole, ou seja, o conjunto de pontos (x,y) tais que
\frac{(y-2)^{2}}{4}-x^{2}<1,
isto é, o “miolo” entre as duas ramas.

Passo 4

Para desenhar R, precisamos da interseção dessas fronteiras.
  1. Igualamos
x^{2}+y^{2}=4, \qquad \frac{(y-2)^{2}}{4}-x^{2}=1.
  1. Da segunda vem
    (y-2)^{2}=4x^{2}+4. Substituindo y^{2}=4-x^{2} do círculo e resolvendo dá duas soluções simétricas
x\approx\pm1{,}395,\quad y\approx-1{,}433.
São os pontos de cruzamento das curvas.

Passo 5

Agora descrever a região R:
  • Ela fica fora do círculo x^{2}+y^{2}=4.
  • Ela fica dentro da hipérbole \frac{(y-2)^{2}}{4}-x^{2}=1.
  • Numericamente percebe-se que, na parte y\le -2 (fora do círculo), não há pontos que satisfaçam o interior da hipérbole.
  • Portanto R é um “cap” acima do círculo, limitado abaixo pelo arco superior de x^{2}+y^{2}=4 e acima pela rama superior da hipérbole \frac{(y-2)^{2}}{4}-x^{2}=1, e se estende em x de -1{,}395 até +1{,}395. É simétrico em relação ao eixo y.

Resposta

A região R é o conjunto de pontos (x,y) que estão fora do círculo de raio 2 (incluindo-o) e, ao mesmo tempo, dentro da hipérbole de equação \tfrac{(y-2)^{2}}{4}-x^{2}=1. No esboço, traça-se:
  1. O círculo x^{2}+y^{2}=4.
  2. A hipérbole \tfrac{(y-2)^{2}}{4}-x^{2}=1 com assíntotas y=2\pm2x.
  3. A região é a “fatia” acima do círculo, encurvada pela rama superior da hipérbole, em x\in[-1{,}395,1{,}395].

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