Aqui o conteúdo é análise de regiões no plano definidas por inequações: uma é o complemento do disco de raio 2 (externo ao círculo de raio 2), e a outra é o interior de uma hipérbole. Vamos estudar cada curva fronteira separadamente e depois obter o lugar geométrico conjunto.
Passo 2
Analisando a primeira inequação x^{2}+y^{2}\ge4:
– A fronteira é o círculo
x^{2}+y^{2}=4,
centro em (0,0) e raio 2.
– A desigualdade \ge indica a região externa a esse círculo (incluindo a própria curva).
Passo 3
Analisando a segunda inequação -4x^{2}+y^{2}-4y<0:
Da segunda vem (y-2)^{2}=4x^{2}+4. Substituindo y^{2}=4-x^{2} do círculo e resolvendo dá duas soluções simétricas
x\approx\pm1{,}395,\quad y\approx-1{,}433.
São os pontos de cruzamento das curvas.
Passo 5
Agora descrever a região R:
Ela fica fora do círculo x^{2}+y^{2}=4.
Ela fica dentro da hipérbole \frac{(y-2)^{2}}{4}-x^{2}=1.
Numericamente percebe-se que, na parte y\le -2 (fora do círculo), não há pontos que satisfaçam o interior da hipérbole.
Portanto R é um “cap” acima do círculo, limitado abaixo pelo arco superior de x^{2}+y^{2}=4 e acima pela rama superior da hipérbole \frac{(y-2)^{2}}{4}-x^{2}=1, e se estende em x de -1{,}395 até +1{,}395. É simétrico em relação ao eixo y.
Resposta
A região R é o conjunto de pontos (x,y) que estão fora do círculo de raio 2 (incluindo-o) e, ao mesmo tempo, dentro da hipérbole de equação \tfrac{(y-2)^{2}}{4}-x^{2}=1. No esboço, traça-se:
O círculo x^{2}+y^{2}=4.
A hipérbole \tfrac{(y-2)^{2}}{4}-x^{2}=1 com assíntotas y=2\pm2x.
A região é a “fatia” acima do círculo, encurvada pela rama superior da hipérbole, em x\in[-1{,}395,1{,}395].