Considere lambda o último dígito do seu R A. Por exemplo, se R A=123456789, então lambda=9.
ESCOLHA UM ITEM DE ACORDO COM O SEU lambda: SE FOR PAR, ESCOLHA ENTRE A) E C). SE FOR Ímpar, ENTRE B) E D)
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da curva y=arccos (x) em torno do eixo y, entre x=0, y=0 e y=pi / 2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela curva y=arccos(x) ao girar em torno do eixo y, do ponto em que y=0 até y=pi/2. Como a rotação é em torno do eixo y e a função está dada em termos de x, vamos usar o método dos cascos cilíndricos, que exige a integral
V = 2pi integralxmin^xmax l(raior),l(a<urar),dx

Passo 2

Identificamos que, ao longo da curva de y=0 (que corresponde a x=1) até y=pi/2 (que corresponde a x=0), o raio do casco é x e a altura é y=arccos(x). Logo,
V = 2pi integral0^1 x,arccos(x),dx

Passo 3

Para calcular
I = integral0^1 x,arccos(x),dx
fazemos integração por partes. Tomamos
u = arccos(x), dv = x,dx
du = -1raiz1-x^2,dx, v = x^22
Assim,
I = [x^22arccos(x)]0^1 - integral0^1 x^22l(-1raiz1-x^2r),dx = 12integral0^1x^2raiz1-x^2,dx,
pois o termo de fronteira é zero em x=0 e em x=1.

Passo 4

Para avaliar
J = integral0^1x^2raiz1-x^2,dx
faço a substituição x = sin t, dx = cos t,dt, com t de 0 a pi/2. Então
J = integral0^pi/2sin^2 traiz1-sin^2 tcos t,dt = integral0^pi/2sin^2 t,dt = pi4
Logo
I = 12J = pi8

Passo 5

Voltando ao volume,
V = 2pi,I = 2picdotpi8 = pi^24

Resposta

V = pi^24

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