Um oscilador amortecido consiste em um bloco de massa m, uma mola de constante elástica k e uma força de amortecimento - bv. Inicialmente, ele oscila com uma amplitude A_0; devido ao amortecimento, a amplitude é reduzida para 3 / 4 de seu valor inicial, quando são completadas quatro oscilações.
a) (1,0 ponto) Encontre \underline{b} em função de \underline{m}.
b) (0,5 ponto) Qual o percentual de energia perdida depois das quatro oscilações?
Passo 1
Temos um oscilador amortecido descrito pela equação
m\ddot x + b\dot x + kx = 0,
onde inicialmente a amplitude é A_0 e, após quatro oscilações, a amplitude cai para \tfrac{3}{4}A_0. Queremos (a) determinar o coeficiente de amortecimento b em função de m (e de k), e (b) calcular o percentual de energia perdido em quatro oscilações.
Passo 2
Em regime subamortecido, a solução em amplitude leva em conta o decaimento exponencial com taxa
\gamma = \frac{b}{2m},
e o período aproximado (para amortecimento fraco) é
T \approx 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
Assim, após n períodos a amplitude é
A(nT)=A_0\,e^{-\gamma\,nT}.
Passo 3
Impondo que, para n=4, A(4T)=\tfrac{3}{4}A_0, temos