Um oscilador amortecido consiste em um bloco de massa m, uma mola de constante elástica k e uma força de amortecimento - bv. Inicialmente, ele oscila com uma amplitude A_0; devido ao amortecimento, a amplitude é reduzida para 3 / 4 de seu valor inicial, quando são completadas quatro oscilações.
a) (1,0 ponto) Encontre \underline{b} em função de \underline{m}.
b) (0,5 ponto) Qual o percentual de energia perdida depois das quatro oscilações?

Passo 1

Temos um oscilador amortecido descrito pela equação
m\ddot x + b\dot x + kx = 0,
onde inicialmente a amplitude é A_0 e, após quatro oscilações, a amplitude cai para \tfrac{3}{4}A_0. Queremos (a) determinar o coeficiente de amortecimento b em função de m (e de k), e (b) calcular o percentual de energia perdido em quatro oscilações.

Passo 2

Em regime subamortecido, a solução em amplitude leva em conta o decaimento exponencial com taxa
\gamma = \frac{b}{2m},
e o período aproximado (para amortecimento fraco) é
T \approx 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
Assim, após n períodos a amplitude é
A(nT)=A_0\,e^{-\gamma\,nT}.

Passo 3

Impondo que, para n=4, A(4T)=\tfrac{3}{4}A_0, temos
e^{-\gamma\,4T} = \frac{3}{4} \quad\Longrightarrow\quad 4\gamma T = \ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \gamma = \frac{1}{4T}\,\ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr).

Passo 4

Como \gamma=b/(2m), obtemos
b = 2m\gamma = 2m\cdot\frac{1}{4T}\ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr) = \frac{m}{2T}\,\ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr).
Substituindo T=2\pi\sqrt{m/k}, chega-se a
b = \frac{m}{2\,(2\pi\sqrt{m/k})}\,\ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr) = \frac{m}{4\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\;\ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr) = \frac{\sqrt{m\,k}}{4\pi}\,\ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr).

Passo 5

A energia de um oscilador é proporcional ao quadrado da amplitude, logo após quatro oscilações
\frac{E_f}{E_i} = \Bigl(\frac{A_f}{A_i}\Bigr)^{2} = \Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr)^{2} = \frac{9}{16}.
O percentual de energia perdida é
1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} = 0{,}4375 \quad\Longrightarrow\quad 43{,}75\%.

Resposta

a) \displaystyle b = \frac{\sqrt{m\,k}}{4\pi}\,\ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr).
b) 43{,}75\% de energia é perdida após quatro oscilações.

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