Considere uma urna com 5 bolas brancas e 3 vermelhas. Três bolas são selecionadas desta urna, ao acaso e todas de uma vez. Qual a probabilidade de haver pelo menos uma bola de cada cor na amostra retirada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma urna com 5 bolas brancas e 3 vermelhas, totalizando 8 bolas. Queremos calcular a probabilidade de, ao retirar 3 bolas de uma vez, ter pelo menos uma bola de cada cor na nossa amostra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinações, que fazem parte da probabilidade combinatória. Precisamos calcular o total de maneiras de escolher 3 bolas e, em seguida, quantas dessas maneiras satisfazem a condição de ter pelo menos uma bola de cada cor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de escolher 3 bolas entre as 8 disponíveis. Isso é dado pela combinação de 8 bolas tomadas 3 a 3, representada por:
C(8, 3) = 8!3!(8-3)! = 8 times 7 times 63 times 2 times 1 = 56
Então, existem 56 maneiras diferentes de tirar 3 bolas da urna.

Passo 3

Agora, queremos saber quantas dessas 56 maneiras atendem à nossa condição de ter pelo menos uma bola branca e uma vermelha. É mais fácil calcular o total de combinações que NÃO atendem a essa condição e subtrair desse total.

Passo 4

As combinações que NÃO atendem à condição são aquelas que possuem todas as bolas brancas ou todas as bolas vermelhas.
Primeiro, vamos calcular as combinações com todas as bolas brancas. Temos 5 bolas brancas e queremos escolher 3:
C(5, 3) = 5!3!(5-3)! = 5 times 4 times 33 times 2 times 1 = 10

Passo 5

Agora, calculamos as combinações com todas as bolas vermelhas. Temos 3 bolas vermelhas e queremos escolher 3:
C(3, 3) = 3!3!(3-3)! = 3 times 2 times 13 times 2 times 1 times 1 = 1

Passo 6

Somando as combinações indesejadas:
10 (todas brancas) + 1 (todas vermelhas) = 11

Passo 7

Agora, subtraímos as combinações indesejadas do total para obter as combinações que atendem à nossa condição:
56 (total) - 11 (indesejadas) = 45

Passo 8

Finalmente, para encontrar a probabilidade, dividimos o número de combinações favoráveis pelo total de combinações:
P = 4556 = 4556 approx 0,8036

Resposta

A probabilidade de haver pelo menos uma bola de cada cor na amostra retirada é de aproximadamente 80,36%.

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