Um lote de 35 peças contém 20 peças conformes e 15 não conformes. Peças são selecionadas deste lote, uma de cada vez e com reposição, até que se observe a primeira peça conforme. Qual a probabilidade de se extrair mais que k peças não conformes antes da primeira conforme, k=0,1, ldots, 14 ?

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos um lote de 35 peças, onde 20 são conformes e 15 não conformes. Queremos calcular a probabilidade de, ao selecionar peças uma de cada vez com reposição, extrair mais de $ k $ peças não conformes antes de encontrar a primeira peça conforme. Isso envolve conceitos de probabilidade, especificamente distribuições geométricas, que ajudam a determinar a probabilidade de um certo número de tentativas até o primeiro sucesso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades de cada tipo de peça ser selecionada:
  • Probabilidade de uma peça ser conforme ($ p $):
    p
  • Probabilidade de uma peça ser não conforme ($ q $):
    p = 2035 = 47

Passo 3

A situação descrita se assemelha a uma distribuição geométrica, onde estamos interessados no número de tentativas até o primeiro “sucesso” (neste caso, encontrar uma peça conforme). A distribuição geométrica nos dá a probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra exatamente na $ n $-ésima tentativa.
No entanto, o problema pede a probabilidade de mais de $ k $ peças não conformes antes do primeiro conforme. Isso significa que estamos procurando a probabilidade de a primeira peça conforme aparecer somente após pelo menos $ k + 1 $ tentativas.

Passo 4

A probabilidade de que as primeiras $ k $ peças sejam todas não conformes é dada por:
k

Resposta

A probabilidade de extrair mais que $ k $ peças não conformes antes da primeira conforme é $ \left( \frac{3}{7} \right)^k $.

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