Suponha um dado onde uma face tem o número 1, duas faces têm o número 2 e três faces o número 3. Suponha o experimento de lançar duas vezes esse dado e observar o número na face superior.
Calcule P(X+Y <= 3).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um dado com faces numeradas de forma desigual: uma face com o número 1, duas faces com o número 2 e três faces com o número 3. O experimento consiste em lançar esse dado duas vezes e observar os números resultantes, que chamamos de $ X $ e $ Y $. Precisamos calcular a probabilidade de que a soma desses dois números seja menor ou igual a 3, ou seja, $ P(X + Y \leq 3) $.
Para resolver isso, vamos precisar entender as probabilidades de cada face do dado e como combiná-las quando lançamos o dado duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as probabilidades individuais de cada número aparecer em um único lançamento. O dado tem 6 faces no total:
  • Número 1: 1 face → $ P(1) = \frac{1}{6} $
  • Número 2: 2 faces → $ P(2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
  • Número 3: 3 faces → $ P(3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $

Passo 3

Agora, como estamos lançando o dado duas vezes, os resultados dos dois lançamentos são independentes. Isso significa que a probabilidade de uma combinação específica de $ X $ e $ Y $ é o produto das probabilidades individuais.
Vamos listar todas as possíveis combinações de $ X $ e $ Y $ e calcular suas probabilidades:
X

Passo 4

Agora, vamos identificar quais dessas combinações satisfazem a condição $ X + Y \leq 3 $:
  • $ (1,1) $: $ 1 + 1 = 2 \leq 3 $
  • $ (1,2) $: $ 1 + 2 = 3 \leq 3 $
  • $ (2,1) $: $ 2 + 1 = 3 \leq 3 $
Essas são as únicas combinações que atendem à condição.

Passo 5

Vamos somar as probabilidades dessas combinações:
P(X + Y <= 3) = P(1,1) + P(1,2) + P(2,1) = 136 + 118 + 118
Convertendo para denominadores iguais:
136 + 236 + 236 = 536

Resposta

A probabilidade de que a soma dos números obtidos nos dois lançamentos seja menor ou igual a 3 é $ \frac{5}{36} $.

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