Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 7 pretas. Retire 2 bolas, uma após a outra, sem reposição. Seja X a variável aleatória que representa o número de bolas vermelhas retiradas.
a) Obtenha a função de probabilidade de X;
b) Determine a função de distribuição acumulada de X e represente-a graficamente;
a) Obtenha a função de probabilidade de X;
b) Determine a função de distribuição acumulada de X e represente-a graficamente;
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma urna com 3 bolas vermelhas e 7 bolas pretas, totalizando 10 bolas. Vamos retirar 2 bolas, uma após a outra, sem recolocação. A variável aleatória $ X $ representa o número de bolas vermelhas retiradas.
O conteúdo da matéria envolvido aqui é Probabilidade, especificamente Distribuições de Probabilidade. Para resolver essa questão, vamos precisar calcular as probabilidades dos diferentes valores que $ X $ pode assumir, ou seja, $ X = 0 $, $ X = 1 $ e $ X = 2 $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os possíveis resultados para $ X $:
- $ X = 0 $: Retiramos 0 bolas vermelhas (as 2 bolas são pretas).
- $ X = 1 $: Retiramos 1 bola vermelha e 1 preta.
- $ X = 2 $: Retiramos 2 bolas vermelhas.
Para encontrar a função de probabilidade de $ X $, precisamos calcular a probabilidade de cada um desses eventos ocorrer.
Passo 3
Calculando $ P(X = 0) $:
Queremos a probabilidade de retirar 2 bolas pretas. Como há 7 bolas pretas na urna, o número de combinações de 2 bolas pretas é $ \binom{7}{2} $.
O total de maneiras de retirar 2 bolas da urna com 10 bolas é $ \binom{10}{2} $.
Portanto,
Passo 4
Calculando $ P(X = 1) $:
Queremos a probabilidade de retirar 1 bola vermelha e 1 preta. Existem $ \binom{3}{1} $ maneiras de escolher 1 bola vermelha e $ \binom{7}{1} $ maneiras de escolher 1 bola preta.
Assim,
Passo 5
Calculando $ P(X = 2) $:
Queremos a probabilidade de retirar 2 bolas vermelhas. Há $ \binom{3}{2} $ maneiras de escolher 2 bolas vermelhas.
Então,
Passo 6
Agora, vamos resumir as probabilidades encontradas na função de probabilidade de $ X $:
Resposta
A função de probabilidade de $ X $ é: