Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade:
P(X=x)=c4^x, x=0,1, ldots
Determine a probabilidade de X ser um número par;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma variável aleatória discreta $ X $ com a função de probabilidade:
X
Nosso objetivo aqui é determinar a probabilidade de $ X $ ser um número par. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de probabilidade e séries infinitas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a somar probabilidades para todos os possíveis valores que $ X $ pode assumir.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor da constante $ c $. Sabemos que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Então, temos:
c
Substituindo a função de probabilidade:
sumx=0^infty P(X = x) = 1

Passo 3

Agora, vamos resolver a soma infinita. Essa é uma série geométrica onde cada termo é $ \frac{1}{4^{x}} $. A soma de uma série geométrica infinita onde a razão $ r $ está entre -1 e 1 é dada por:
14^x
Aqui, $ r = \frac{1}{4} $, então:
r

Passo 4

Voltando à nossa equação original:
c cdot sumx=0^infty 14^x = c cdot 43 = 1
Para encontrar $ c $, basta resolver:
c

Passo 5

Agora que temos o valor de $ c $, vamos calcular a probabilidade de $ X $ ser um número par. Ou seja, queremos:
c é
Substituindo $ c = \frac{3}{4} $:
X é

Passo 6

Novamente, temos uma série geométrica, agora com razão $ r = \frac{1}{16} $. Então:
r = 116

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da probabilidade:
P(X é par) = 34 cdot 1615 = 4860 = 45 é

Resposta

A probabilidade de $ X $ ser um número par é $ \frac{4}{5} $ ou 80%.

Exercícios relacionados