Seja
uma variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade:
Determine a probabilidade de X ser um número par;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma variável aleatória discreta $ X $ com a função de probabilidade:
Nosso objetivo aqui é determinar a probabilidade de $ X $ ser um número par. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de probabilidade e séries infinitas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a somar probabilidades para todos os possíveis valores que $ X $ pode assumir.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor da constante $ c $. Sabemos que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Então, temos:
Substituindo a função de probabilidade:
Passo 3
Agora, vamos resolver a soma infinita. Essa é uma série geométrica onde cada termo é $ \frac{1}{4^{x}} $. A soma de uma série geométrica infinita onde a razão $ r $ está entre -1 e 1 é dada por:
Aqui, $ r = \frac{1}{4} $, então:
Passo 4
Voltando à nossa equação original:
Para encontrar $ c $, basta resolver:
Passo 5
Agora que temos o valor de $ c $, vamos calcular a probabilidade de $ X $ ser um número par. Ou seja, queremos:
Substituindo $ c = \frac{3}{4} $:
Passo 6
Novamente, temos uma série geométrica, agora com razão $ r = \frac{1}{16} $. Então:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da probabilidade:
Resposta
A probabilidade de $ X $ ser um número par é $ \frac{4}{5} $ ou 80%.