Mostre que as seguintes funções são densidades:
a)
b) f(x)=l2 / 3, se -1 <= x <= 0 -2(x-1) / 3, se 0 <= x <= 1 0, caso contrário á
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que duas funções são densidades de probabilidade. Isso significa que precisamos verificar duas coisas principais:
Não-negatividade: A função $ f(x) $ deve ser maior ou igual a zero para todos os valores de $ x $.
Integral igual a 1: A integral de $ f(x) $ em todo o eixo real deve ser exatamente 1.
Vamos conferir essas duas condições para as funções a) e b).
Passo 2
Vamos começar com a função a):
f(x) = lr 18, & se 0 <= x <= 2 34, & se 4 <= x <= 5 0, & caso contrário á
1. Verificando a não-negatividade:
Olha só, todos os valores de $ f(x) $ são $ \frac{1}{8} $, $ \frac{3}{4} $ ou 0. Todos esses números são maiores ou iguais a zero. Então, a condição de não-negatividade está OK.
2. Calculando a integral para ver se dá 1:
Vamos calcular a área total sob a curva de $ f(x) $:
f(x)
Calculando cada parte:
18
34
Somando as duas integrais:
f(x)
Então, a integral total é 1. Isso confirma que $ f(x) $ é uma densidade de probabilidade.
Passo 3
Agora, vamos para a função b):
f(x) = l 23, se -1 <= x <= 0 -2(x - 1)3, se 0 <= x <= 1 0, caso contrário á
1. Verificando a não-negatividade:
Primeiro, vamos ver se $ f(x) $ é sempre maior ou igual a zero.
Para $ -1 \leq x \leq 0 $, $ f(x) = \frac{2}{3} $, que é positivo.
Para $ 0 \leq x \leq 1 $, $ f(x) = -\frac{2(x - 1)}{3} $. Vamos simplificar:
f(x)
Como $ x $ está entre 0 e 1:
Quando $ x = 0 $: $ f(x) = \frac{2 - 0}{3} = \frac{2}{3} $
Quando $ x = 1 $: $ f(x) = \frac{2 - 2}{3} = 0 $
E para valores entre 0 e 1, $ f(x) $ varia de $ \frac{2}{3} $ até 0, sempre positivo ou zero.
Então, a condição de não-negatividade está OK.
2. Calculando a integral para ver se dá 1:
Vamos calcular a área total sob a curva de $ f(x) $:
-1 <= x <= 0
Calculando cada parte:
f(x) = 23
Para a segunda integral:
0 <= x <= 1
Calculando:
f(x) = -2(x - 1)3
Somando as duas integrais:
f(x) = -2x - 23 = 2 - 2x3
Então, a integral total é 1. Isso confirma que $ f(x) $ também é uma densidade de probabilidade.
Resposta
Ambas as funções a) e b) satisfazem as condições de serem densidades de probabilidade, já que são sempre não-negativas e a integral delas em todo o eixo real é igual a 1.