Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade:
P(X=x)=c4^x, x=0,1, ldots
Determine:
a) o valor da constante c
b) a probabilidade de X ser um número par;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma variável aleatória discreta X com a função de probabilidade dada por:
P(X = x) = c4^x, x = 0,1,2,ldots
Nosso objetivo é determinar:
a) O valor da constante c
b) A probabilidade de X ser um número par.
Para resolver isso, vamos precisar entender que a soma de todas as probabilidades de uma variável aleatória deve ser igual a 1. Além disso, para a parte b, vamos usar conceitos de eventos e probabilidade de eventos especiais.

Passo 2

Vamos começar com a parte a) e encontrar o valor da constante c.
Sabemos que a soma de todas as probabilidades de X deve ser igual a 1:
sumx=0^infty P(X = x) = 1
Substituindo a função de probabilidade dada:
sumx=0^infty c4^x = 1

Passo 3

Agora, precisamos calcular a soma infinita:
sumx=0^infty c4^x = c sumx=0^infty (14)^x
Reconhecemos que isso é uma série geométrica com razão r = 14, que é menor que 1, então a soma converge e é dada por:
sumx=0^infty r^x = 11 - r
Aplicando isso:
c cdot 11 - 14 = c cdot 134 = c cdot 43

Passo 4

Igualando a soma a 1:
c cdot 43 = 1
Para encontrar c, basta isolar a variável:
c = 34

Passo 5

Agora que encontramos c = 34, passamos para a parte b), que é encontrar a probabilidade de X ser um número par.
Isso significa que queremos somar as probabilidades onde x é par, ou seja, x = 0, 2, 4, ldots.

Passo 6

Vamos escrever a soma das probabilidades para x par:
P(X é par) = sumk=0^infty P(X = 2k) = sumk=0^infty c4^2k = c sumk=0^infty (116)^k é
Aqui, substituímos x por 2k para representar todos os números pares.

Passo 7

Novamente, temos uma série geométrica com razão r = 116, que também é menor que 1. Então, a soma é:
sumk=0^infty (116)^k = 11 - 116 = 11516 = 1615

Passo 8

Multiplicando pela constante c:
P(X é par) = c cdot 1615 = 34 cdot 1615 = 4860 = 45 é

Resposta

a) A constante c vale 34.
b) A probabilidade de X ser um número par é 45.

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