Seja
uma variável aleatória discreta com a seguinte função de probabilidade:
Determine:
a) o valor da constante c
b) a probabilidade de X ser um número par;
a) o valor da constante c
b) a probabilidade de X ser um número par;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma variável aleatória discreta
com a função de probabilidade dada por:
Nosso objetivo é determinar:
a) O valor da constante
b) A probabilidade de
ser um número par.
Para resolver isso, vamos precisar entender que a soma de todas as probabilidades de uma variável aleatória deve ser igual a 1. Além disso, para a parte b, vamos usar conceitos de eventos e probabilidade de eventos especiais.
Passo 2
Vamos começar com a parte a) e encontrar o valor da constante
.
Sabemos que a soma de todas as probabilidades de
deve ser igual a 1:
Substituindo a função de probabilidade dada:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a soma infinita:
Reconhecemos que isso é uma série geométrica com razão
, que é menor que 1, então a soma converge e é dada por:
Aplicando isso:
Passo 4
Igualando a soma a 1:
Para encontrar
, basta isolar a variável:
Passo 5
Agora que encontramos
, passamos para a parte b), que é encontrar a probabilidade de
ser um número par.
Isso significa que queremos somar as probabilidades onde
é par, ou seja,
.
Passo 6
Vamos escrever a soma das probabilidades para
par:
Aqui, substituímos
por
para representar todos os números pares.
Passo 7
Novamente, temos uma série geométrica com razão
, que também é menor que 1. Então, a soma é:
Passo 8
Multiplicando pela constante
:
Resposta
a) A constante
vale
.
b) A probabilidade de
ser um número par é
.