Sobre a solução para a equação y ^ prime prime prime + 3y^ prime prime + 2 * y’ = 1 analise as sentenças a seguir:
1- A solução para Equação Diferencial homogênea associada é y =c 1 + c_{2} * e ^ (- x) + c_{3} * e ^ (- 2x)
II- A solução particular para Equação Diferencial é y_{\mathfrak{p}}(x) = x/2
I
II- A solução geral para a Equação Diferencial dot e y= c_{1} + c_{2} * e ^ (- x) +c_{3} * e ^ (- 2x) + (x ^ 2)/4 - (5x)/4
IV- A Equação Diferencial dada não possui solução.
Assinale a alternativa CORRETA:
A) As sentenças I e III estão corretas.
B) Somente a sentença IV está correta.
C) As sentenças II e III estão corretas.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial juntinhos. O enunciado nos pede para analisar algumas afirmações sobre a solução da equação $ y’’’ + 3y’’ + 2y’ = 1 $. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, encontrar a solução da parte homogênea e uma solução particular. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, $ y’’’ + 3y’’ + 2y’ = 0 $. Para isso, a gente monta a equação característica substituindo $ y = e^{rx} $:
y''' + 3y'' + 2y' = 0
Factorizando, temos:
y = e^rx
Isso nos dá as raízes $ r = 0 $, $ r = -1 $ e $ r = -2 $. Então, a solução geral da parte homogênea é:
r^3 + 3r^2 + 2r = 0

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa $ y’’’ + 3y’’ + 2y’ = 1 $. Como o lado direito é uma constante (1), vamos supor que a solução particular seja também uma constante, $ y_p = A $.
Derivando $ y_p $:
y''' + 3y'' + 2y' = 1
Substituindo na equação:
yp = A
Não funciona, então precisamos tentar outra forma. Vamos supor $ y_p = A x + B $.
Derivando:
yp
Substituindo:
yp' = 0, yp'' = 0, yp''' = 0
Vamos escolher $ B = 0 $ para simplificar, então:
0 + 0 + 2(0) = 1 Rightarrow 0 = 1

Passo 4

Assim, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
y = yh + yp = c1 + c2 e^-x + c3 e^-2x + x2

Resposta

A alternativa correta é:
A) As sentenças I e III estão corretas.

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