O ponto A(-1.-2) é um dos vértices de um triângulo equilátero ABC, cujo lado BC está sobre a reta de equação x + 2y -5 = 0. Determine a medida da altura desse triângulo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o ponto A(-1, -2), que é um dos vértices de um triângulo equilátero ABC. O lado BC está sobre a reta com a equação $ x + 2y - 5 = 0 $. Nosso objetivo é encontrar a medida da altura desse triângulo.
Vamos precisar usar conceitos de geometria, como a definição de triângulo equilátero, propriedades de retas no plano cartesiano, distância entre pontos e a fórmula da altura de um triângulo equilátero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um triângulo equilátero: é um triângulo onde todos os lados têm o mesmo comprimento. A altura de um triângulo equilátero pode ser encontrada usando a fórmula:
onde $ a $ é o comprimento de um lado do triângulo.
Então, para encontrar a altura, primeiro precisamos encontrar o comprimento do lado do triângulo, que é igual à distância entre os pontos B e C na reta $ x + 2y - 5 = 0 $.
Passo 3
Vamos achar duas coordenadas possíveis para os pontos B e C na reta $ x + 2y - 5 = 0 $. Como precisamos que o triângulo seja equilátero e possamos usar o ponto A (-1, -2) como um dos vértices, podemos considerar a distância entre A e BC.
A distância de um ponto a uma reta é dada pela fórmula:
Para a nossa reta $ x + 2y - 5 = 0 $, os coeficientes são $ A = 1 $, $ B = 2 $ e $ C = -5 $. O ponto A é (-1, -2). Substituindo na fórmula:
Essa distância é igual à altura do triângulo, pois em um triângulo equilátero, a altura também representa a distância do vértice ao lado oposto.
Passo 4
Agora que já sabemos que a distância do ponto A à reta BC é $ 2\sqrt{5} $, podemos concluir que essa é a medida da altura do triângulo equilátero ABC.
Resposta
A medida da altura do triângulo é $ 2\sqrt{5} $ unidades.