Considere uma urna com
bolas numeradas de 1 a
. Uma bola é sorteada ao acaso desta urna. Seja
o número da bola selecionada.
© Calcule a
.
© Calcule a
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma urna com
bolas, numeradas de 1 até
. Uma bola é sorteada ao acaso, e
representa o número da bola que foi escolhida. Nosso objetivo aqui é calcular a variância de
, que é uma medida de quanto os valores de
se espalham em torno da média.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a média (ou valor esperado) de
, que é denotada por
. Como as bolas são igualmente prováveis de serem escolhidas,
tem uma distribuição uniforme. A fórmula para a média de uma distribuição uniforme discreta de 1 até
é:
A soma dos números de 1 até
é
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular
, que é o valor esperado de
ao quadrado. A fórmula para isso é:
A soma dos quadrados dos números de 1 até
é
, então:
Passo 4
Com
e
em mãos, podemos calcular a variância de
, que é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Vamos simplificar:
Para combinar as frações, encontramos o denominador comum, que é 12:
Fatorando
:
Resposta
A variância de
é: