Considere uma urna com N bolas numeradas de 1 a N, N >= 1. Uma bola é sorteada ao acaso desta urna. Seja X o número da bola selecionada.
© Calcule a Var[X].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma urna com N bolas, numeradas de 1 até N. Uma bola é sorteada ao acaso, e X representa o número da bola que foi escolhida. Nosso objetivo aqui é calcular a variância de X, que é uma medida de quanto os valores de X se espalham em torno da média.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a média (ou valor esperado) de X, que é denotada por E[X]. Como as bolas são igualmente prováveis de serem escolhidas, X tem uma distribuição uniforme. A fórmula para a média de uma distribuição uniforme discreta de 1 até N é:
E[X] = 1 + 2 + dots + NN
A soma dos números de 1 até N é N(N+1)2, então:
E[X] = N(N+1)2N = N+12

Passo 3

Agora, vamos calcular E[X^2], que é o valor esperado de X ao quadrado. A fórmula para isso é:
E[X^2] = 1^2 + 2^2 + dots + N^2N
A soma dos quadrados dos números de 1 até N é N(N+1)(2N+1)6, então:
E[X^2] = N(N+1)(2N+1)6N = (N+1)(2N+1)6

Passo 4

Com E[X] e E[X^2] em mãos, podemos calcular a variância de X, que é dada por:
Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2
Substituindo os valores que encontramos:
Var[X] = (N+1)(2N+1)6 - (N+12)^2
Vamos simplificar:
Var[X] = (N+1)(2N+1)6 - (N+1)^24 = (N+1)[2N+1]6 - (N+1)^24
Para combinar as frações, encontramos o denominador comum, que é 12:
Var[X] = 2(N+1)(2N+1)12 - 3(N+1)^212 = 2(N+1)(2N+1) - 3(N+1)^212
Fatorando (N+1):
Var[X] = (N+1)[2(2N+1) - 3(N+1)]12 = (N+1)(4N+2 -3N -3)12 = (N+1)(N-1)12

Resposta

A variância de X é:
Var[X] = N^2 - 112

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