Considere
como o conjunto de pares ordenados de números reais. Para
e
elementos de
e
, defina as operações:
Verifique se
é um espaço vetorial sobre
com essas operações de soma de vetores e multiplicação por escalar. Caso não seja, identifique quais axiomas de espaço vetorial não são satisfeitos e justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para verificar se um conjunto
de pares ordenados de números reais, com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas da maneira específica, forma um espaço vetorial sobre os reais
. Para resolver isso, vamos lembrar os axiomas que definem um espaço vetorial e checar um por um se eles são satisfeitos com essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre
precisa satisfazer certos axiomas, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de elemento neutro, existência de inversos, associatividade e comutatividade da adição, distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores e à adição de escalares.
Passo 3
Vamos começar verificando o fechamento sob a adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores
e
em
, a soma deles
também deve estar em
. Como a soma das componentes ainda resulta em números reais, o fechamento sob adição é satisfeito.
Passo 4
Agora, vamos verificar o fechamento sob a multiplicação por escalar. Para um escalar
e um vetor
em
, a multiplicação
também resulta em um par de números reais, então o fechamento está OK.
Passo 5
Vamos conferir a associatividade da adição. Ou seja, para três vetores
, a soma
deve ser igual a
. Calculando:
Como a multiplicação é associativa nos reais,
, então a associatividade da adição é satisfeita.
Passo 6
Vamos ver a comutatividade da adição. Para dois vetores
e
:
Como a adição e multiplicação nos reais são comutativas, essa propriedade também é satisfeita.
Passo 7
Agora, o existente do elemento neutro. O vetor zero deve satisfazer
. Vamos encontrar
tal que:
Isso requer que
, então o vetor neutro é
.
Passo 8
Verifiquemos os inversos aditivos. Para cada vetor
, deve existir
tal que
:
Isso implica que
, portanto
. No entanto, se
, não existe inverso, o que já nos aponta um problema.
Passo 9
Vamos checar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Para
e vetores
:
Esses dois resultados são iguais, então a distributividade é satisfeita.
Passo 10
Por último, a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Aqui,
não é igual a
a menos que
ou
, o que não é garantido para todos os vetores. Portanto, esse axioma não é satisfeito.
Resposta
Não,
não é um espaço vetorial sobre
. Os axiomas que não são satisfeitos são:
-
Existência de inversos aditivos: Não existe um vetor inverso para
se , pois não há um tal que . -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: A operação definida não preserva a distributividade para todos os vetores, já que
em geral.
Esses problemas fazem com que
não atenda aos requisitos para ser um espaço vetorial sobre
.