Considere V como o conjunto de pares ordenados de números reais. Para (a1, a2) e (b1, b2) elementos de V e c in R, defina as operações:
(a1, a2)+(b1, b2)=(a1+b1, a2 b2) e c(a1, a2)=(c a1, a2)
Verifique se (V,+, cdot) é um espaço vetorial sobre R com essas operações de soma de vetores e multiplicação por escalar. Caso não seja, identifique quais axiomas de espaço vetorial não são satisfeitos e justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para verificar se um conjunto de pares ordenados de números reais, com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas da maneira específica, forma um espaço vetorial sobre os reais . Para resolver isso, vamos lembrar os axiomas que definem um espaço vetorial e checar um por um se eles são satisfeitos com essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre precisa satisfazer certos axiomas, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de elemento neutro, existência de inversos, associatividade e comutatividade da adição, distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores e à adição de escalares.

Passo 3

Vamos começar verificando o fechamento sob a adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores e em , a soma deles também deve estar em . Como a soma das componentes ainda resulta em números reais, o fechamento sob adição é satisfeito.

Passo 4

Agora, vamos verificar o fechamento sob a multiplicação por escalar. Para um escalar e um vetor em , a multiplicação também resulta em um par de números reais, então o fechamento está OK.

Passo 5

Vamos conferir a associatividade da adição. Ou seja, para três vetores (u + v) + w = (u1 + v1, u2 times v2) + (w1, w2) = (u1 + v1 + w1, (u2 times v2) times w2) , a soma u + (v + w) = (u1, u2) + (v1 + w1, v2 times w2) = (u1 + v1 + w1, u2 times (v2 times w2)) deve ser igual a . Calculando:
Como a multiplicação é associativa nos reais, , então a associatividade da adição é satisfeita.

Passo 6

Vamos ver a comutatividade da adição. Para dois vetores u + v = (u1 + v1, u2 times v2) = (v1 + u1, v2 times u2) = v + u e :
Como a adição e multiplicação nos reais são comutativas, essa propriedade também é satisfeita.

Passo 7

Agora, o existente do elemento neutro. O vetor zero deve satisfazer (a1, a2) + (0, e) = (a1 + 0, a2 times e) = (a1, a2) . Vamos encontrar tal que:
Isso requer que , então o vetor neutro é .

Passo 8

Verifiquemos os inversos aditivos. Para cada vetor (a1, a2) + (-a1, e) = (a1 - a1, a2 times e) = (0, 1) , deve existir tal que :
Isso implica que , portanto . No entanto, se , não existe inverso, o que já nos aponta um problema.

Passo 9

Vamos checar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Para c times (u + v) = c times (u1 + v1, u2 times v2) = (c(u1 + v1), u2 times v2) e vetores c times u + c times v = (c u1, u2) + (c v1, v2) = (c u1 + c v1, u2 times v2) :
Esses dois resultados são iguais, então a distributividade é satisfeita.

Passo 10

Por último, a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
(c + d) times v = ((c + d) v1, v2)
c times v + d times v = (c v1, v2) + (d v1, v2) = (c v1 + d v1, v2 times v2)
Aqui, não é igual a a menos que ou , o que não é garantido para todos os vetores. Portanto, esse axioma não é satisfeito.

Resposta

Não, não é um espaço vetorial sobre . Os axiomas que não são satisfeitos são:
  1. Existência de inversos aditivos: Não existe um vetor inverso para se , pois não há um tal que .
  2. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: A operação definida não preserva a distributividade para todos os vetores, já que em geral.
Esses problemas fazem com que não atenda aos requisitos para ser um espaço vetorial sobre .

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