Considere as v. as. discretas e independentes
com
e
com
. Ache a função densidade de probabilidade da v. a.
, ou seja,
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias discretas e independentes:
- X que vale –1, 0 ou 1, cada um com probabilidade
. - Y que vale 2, 4 ou 6, cada um com probabilidade
.
O que a questão pede é a função massa de probabilidade (pmf) de
, ou seja:
Isso é um caso clássico de “convolução” de variáveis discretas independentes. Vamos precisar:
- Listar todos os valores possíveis de
. - Aplicar a soma de probabilidades pelo critério de independência.
Passo 2
Primeiro, vamos achar todos os valores que
pode assumir. Como
e
, fazemos todas as combinações:
- Se
: pode ser , , . - Se
: pode ser , , . - Se
: pode ser , , .
Logo, os valores possíveis de
são
.
Passo 3
Agora calculamos
. Como
e
são independentes e uniformes em seus três valores, cada par
tem probabilidade
. Basta contar quantas combinações dão cada
:
-
: só vem de .
-
: só vem de .
-
: vem de e de .
-
: só vem de .
-
: vem de e de .
-
: só vem de .
-
: só vem de .
Cheque rápido:
. Tudo fecha.
Resposta
A pmf de
é