Considere as v. as. discretas e independentes X com px(-1)=px(0)=px(1) =1 / 3 e Y com py(2)=py(4)=py(6)=1 / 3. Ache a função densidade de probabilidade da v. a. Z=X+Y, ou seja, pz(zi)=PZ=zj.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias discretas e independentes:
  • X que vale –1, 0 ou 1, cada um com probabilidade pZ(z) = P(Z = z) ;=;sumx P(X=x),P(Y = z - x) .
  • Y que vale 2, 4 ou 6, cada um com probabilidade .
O que a questão pede é a função massa de probabilidade (pmf) de , ou seja:
Isso é um caso clássico de “convolução” de variáveis discretas independentes. Vamos precisar:
  1. Listar todos os valores possíveis de .
  2. Aplicar a soma de probabilidades pelo critério de independência.

Passo 2

Primeiro, vamos achar todos os valores que pode assumir. Como e , fazemos todas as combinações:
  • Se : pode ser , , .
  • Se : pode ser , , .
  • Se : pode ser , , .
Logo, os valores possíveis de são .

Passo 3

Agora calculamos . Como e são independentes e uniformes em seus três valores, cada par tem probabilidade . Basta contar quantas combinações dão cada :
  1. : só vem de .
  2. : só vem de .
  3. : vem de e de .
  4. : só vem de .
  5. : vem de e de .
  6. : só vem de .
  7. : só vem de .
Cheque rápido:
. Tudo fecha.

Resposta

A pmf de pZ(z)= 19,&z=1,2,4,6,7, 29,&z=3,5, 0,&caso contrário é
á

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