Suponha que a v. a. discreta X assuma os valores: -2,-1,0,1,2 com igual probabilidade. Ache a função densidade de probabilidade, pY(yi)=PY=yi de Y= X^2+1.

Passo 1

Beleza! O exercício diz que temos uma variável aleatória discreta X que vale −2, −1, 0, 1, 2, tudo com mesma chance (ou seja, Y = X^2 + 1 para cada valor). Aí definimos outra variável Y por
pY(y) ;=; sumx:,g(x)=y pX(x),
O que a gente quer é a função densidade de probabilidade de Y, isto é, .
Conteúdo: transformação de variável aleatória discreta e soma de probabilidades. Vamos usar a regra
onde .

Passo 2

Primeiro, vamos listar todos os valores de X e o correspondente Y:
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Se , então .
Logo, Y só pode assumir os valores .

Passo 3

Teoria: para uma transformação discreta pY(y) ;=; sumsubstackxin-2,-1,0,1,2g(x)=y pX(x) , a probabilidade de Y tomar um valor é a soma das probabilidades de todos os que levam a esse :
Aqui para cada .

Passo 4

Vamos calcular cada uma:
  1. Para pY(1)=PX=0=15 , o único pY(2)=PX=-1+PX=1=15+15=25 que dá pY(5)=PX=-2+PX=2=15+15=25 é .
  2. Para , os que dão são e .
  3. Para , os que dão são e .

Resposta

A função densidade de probabilidade de Y é
pY(y) = 15, & y=1,[6pt] 25, & y=2,[6pt] 25, & y=5,[3pt] 0, & caso contrário á

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