Uma lâmpada tem duração de acordo com a densidade de probabilidade a seguir:
Qual a probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime depois de sua duração média?

Passo 1

Então, o enunciado diz que a vida útil f(x)= 0,&x<0, dfrac11000e^-x/1000,&x>=0 de uma lâmpada tem densidade
Isso é uma variável aleatória contínua do tipo Exponencial com parâmetro .
O que vamos precisar:
  1. Calcular a média .
  2. Usar essa média para achar , ou seja, a probabilidade de a lâmpada queimar depois do tempo médio.

Passo 2

Calcular a média E[X] =integral0^inftyx,f(x),dx =integral0^inftyxcdot11000e^-x/1000,dx .
Por definição,
integral u,dv = uv - integral v,du
Fazemos uma integração por partes:
– Escolhe E[X] =[-x,e^-x/1000]0^infty + integral0^inftye^-x/1000dx e integral0^inftye^-x/1000dx =1000 .
– Então E[X]=1000 e .
Aplicando
obtemos
O termo vale 0 (pois quando e em 0 é zero).
E
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Passo 3

Agora queremos
Pr(X>E[X]) = Pr(X>1000) =integral1000^infty11000e^-x/1000dx
Resolver essa integral é direto:
integral1000^infty11000e^-x/1000dx =[-e^-x/1000]1000^infty =0 - (-e^-1000/1000) =e^-1

Resposta

A probabilidade de a lâmpada queimar depois de sua duração média é
boxede^-1approx0,368

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