Uma lâmpada tem duração de acordo com a densidade de probabilidade a seguir:
Qual o desvio padrão da distribuição?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a vida útil X da lâmpada tem densidade
f(x)= 0, & x<0, dfrac11000,e^-x/1000, & x>=0
Isso é uma distribuição Exponencial com parâmetro .
O que precisamos pra achar o desvio padrão é:
  1. Calcular a média .
  2. Calcular .
  3. Usar .
  4. Pegar a raiz pra ter o desvio padrão.
    Vamos usar integração por partes nas duas primeiras integrais.

Passo 2

Calcular E(X)=integral0^infty xcdot11000e^-x/1000dx .
Escrevendo:
du=dx, v=integral11000e^-x/1000dx=-e^-x/1000
Pra integrar isso, escolhe integral u,dv = uv|0^infty - integral v,du ;Longrightarrow; E(X)=[-x,e^-x/1000]0^infty - integral0^inftyl(-e^-x/1000r),dx e E(X)=integral0^inftye^-x/1000dx =[-1000,e^-x/1000]0^infty =1000 .
Então
Pela fórmula de partes,
O termo . Resta

Passo 3

Agora u=x^2, dv=11000e^-x/1000dx ;Longrightarrow; du=2x,dx, v=-e^-x/1000 .
De novo, integração por partes com
E(X^2) =[-x^2e^-x/1000]0^infty -integral0^inftyl(-e^-x/1000r),2x,dx =2integral0^inftyx,e^-x/1000dx
Logo
integral0^inftyx,e^-x/1000dx =integral0^infty(1000t)e^-t(1000,dt) =10^6integral0^inftyt,e^-tdt =10^6cdot1! =10^6
Ficou parecido com o que fizemos em E(X^2)=2cdot10^6=2times10^6 , só que sem o .
Fazendo a substituição :
Então

Passo 4

Agora a variância:
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 =2times10^6-(1000)^2 =2times10^6-10^6 =10^6

Passo 5

O desvio padrão é a raiz da variância:
sigma=raizVar(X)=raiz10^6=1000

Resposta

O desvio padrão da distribuição é .

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