Considere V é um espaço real com p.i. lang<=, rang<=
Sejam R^n, n >= 2 euclidiano, v0, w0 in R^n, mostre que T(v)=(v cdot vo) w0 define um operador linear sobre R^n. Em que condições para v0 e w0 T é autoadjunto e/ou ortogonal?

Passo 1

O enunciado diz que em R^n (com o produto interno usual) temos vetores v0,w0 e definimos
Tcolon R^ntoR^n, T(v) = (vcdot v0),w0
Precisamos (i) mostrar que T é linear; (ii) encontrar T^* e ver quando T=T^* (autoadjunta); (iii) ver se/quando T é ortogonal ( T^* = T^-1).

Passo 2

Para checar linearidade basta usar as propriedades bilineares do produto interno. Sejam v,winR^n e alpha,betainR. Então
T(alpha v + beta w) = l((alpha v + beta w)cdot v0r),w0 = l(alpha,vcdot v0 + beta,wcdot v0r),w0 = alpha,(vcdot v0)w0 + beta,(wcdot v0)w0 = alpha,T(v) + beta,T(w)
Logo, T é linear.

Passo 3

Para achar o adjunto T^* usamos a definição
lang<= T(v),,wrang<= = lang<= v,,T^*(w)rang<= forall,v,w
Mas lang<= T(v),wrang<= = (vcdot v0)(w0cdot w). Queremos um vetor T^*(w) tal que
(vcdot v0)(w0cdot w) ;=;lang<= v,,T^*(w)rang<= ;=; vcdotl(T^*(w)r)
Como isso deve valer para todo v, concluímos
T^*(w) = (w0cdot w),v0
Em notação de tensores, T = w0otimes v0 e T^*=v0otimes w0.

Passo 4

T é autoadjunta quando T=T^*, isto é
w0otimes v0 ;=; v0otimes w0 Long<=ftrightarrow (vcdot v0),w0 = (vcdot w0),v0 forall,v
Essa igualdade em todo v só se dá se w0 e v0 forem colineares: existe lambdainR tal que
w0 = lambda,v0
Nesse caso
T(v) = (vcdot v0),(lambda v0) = lambda,(vcdot v0),v0
e também T^*(v)=lambda,(vcdot v0),v0, ou seja T=T^*.

Passo 5

Um operador é ortogonal se ele preserva o produto interno, equivalently T^* = T^-1. Mas T tem posto <=1 (é uma projeção em direção a v0, seguida de escala em w0), logo não é invertível quando n>=2. Em particular não pode satisfazer T^*T=I. Portanto, para n>=2, T jamais é ortogonal, exceto no caso trivial T=0 (que também não é ortogonal porque não é inversível).

Resposta

T é linear para todos v0,w0.
T é autoadjunta se, e somente se, w0 e v0 forem colineares ( w0=lambda v0).
T não é ortogonal para n>=2.

Exercícios relacionados