Considere
é um espaço real com p.i.
,
Sejam
euclidiano,
, mostre que
define um operador linear sobre
. Em que condições para
e
é autoadjunto e/ou ortogonal?
Sejam
Passo 1
O enunciado diz que em
(com o produto interno usual) temos vetores
e definimos
Precisamos (i) mostrar que
é linear; (ii) encontrar
e ver quando
(autoadjunta); (iii) ver se/quando
é ortogonal (
).
Passo 2
Para checar linearidade basta usar as propriedades bilineares do produto interno. Sejam
e
. Então
Logo,
é linear.
Passo 3
Para achar o adjunto
usamos a definição
Mas
. Queremos um vetor
tal que
Como isso deve valer para todo
, concluímos
Em notação de tensores,
e
.
Passo 4
Essa igualdade em todo
só se dá se
e
forem colineares: existe
tal que
Nesse caso
e também
, ou seja
.
Passo 5
Um operador é ortogonal se ele preserva o produto interno, equivalently
. Mas
tem posto
(é uma projeção em direção a
, seguida de escala em
), logo não é invertível quando
. Em particular não pode satisfazer
. Portanto, para
,
jamais é ortogonal, exceto no caso trivial
(que também não é ortogonal porque não é inversível).