Para os operadores dados, classifique em autoadjunto ou ortogonal.
No espaço euclideano R^3, T(1,1,0)=113(5,1,-12), T(0,1,1)=113(12,1,5), T(0,0,1)=113(12,0,5)

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear TcolonR^3toR^3 definido pelos valores
T(1,1,0)=tfrac113(5,1,-12),; T(0,1,1)=tfrac113(12,1,5),; T(0,0,1)=tfrac113(12,0,5)
Queremos dizer se T é autoadjunto (isto é, representado por uma matriz simétrica na base canônica) ou ortogonal (isto é, preserva produto interno, equivalente a M^T M=I na base canônica).

Passo 2

Para montar a matriz M de T na base canônica e1,e2,e3, escrevemos cada ei como combinação da base b1,b2,b3 onde
b1=(1,1,0), b2=(0,1,1), b3=(0,0,1)
  1. e1=(1,0,0)=1,b1-1,b2+1,b3,
  2. e2=(0,1,0)=0,b1+1,b2-1,b3,
  3. e3=(0,0,1)=0,b1+0,b2+1,b3.
    Logo
T(e1)=T(b1)-T(b2)+T(b3), T(e2)=T(b2)-T(b3), T(e3)=T(b3)

Passo 3

Usando os valores dados,
T(b1)=tfrac113(5,1,-12),; T(b2)=tfrac113(12,1,5),; T(b3)=tfrac113(12,0,5),
vemos
T(e1)=tfrac113l((5,1,-12)-(12,1,5)+(12,0,5)r) =tfrac113(5,0,-12),
T(e2)=tfrac113l((12,1,5)-(12,0,5)r) =tfrac113(0,1,0),
T(e3)=tfrac113(12,0,5)
Assim a matriz de T na base canônica é
M=113 5 & 0 & 12 0 & 1 & 0 -12 & 0 & 5

Passo 4

Para verificar se T é autoadjunto, comparamos M com sua transposta:
M^T=113 5 & 0 & -12 0 & 1 & 0 12 & 0 & 5
Vemos Mneq M^T, logo T não é autoadjunto.

Passo 5

Para verificar se T é ortogonal, calculamos
M,M^T =1169 5 & 0 & 12 0 & 1 & 0 -12 & 0 & 5 5 & 0 & -12 0 & 1 & 0 12 & 0 & 5 = 1 & 0 & 0 0 & tfrac1169 & 0 0 & 0 & 1 ,
que não é a matriz identidade. Portanto T não é ortogonal.

Resposta

T não é nem autoadjunto nem ortogonal.

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