Para os operadores dados, classifique em autoadjunto ou ortogonal.
No espaço euclideano R^3, T(x, y, z)=(x-y+2 z,-x+y+z, 2 x-2 y+z).

Passo 1

O enunciado pede para classificar o operador linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,x - y + 2z,,-x + y + z,,2x - 2y + z,)
como autoadjunto (simétrico) ou ortogonal. Vamos usar as propriedades matriciais em relação à base canônica de R^3.

Passo 2

Escrevendo T na base canônica, obtemos a matriz
A = 1 & -1 & 2 -1 & 1 & 1 2 & -2 & 1
porque
T(e1)=(1,-1,2), T(e2)=(-1,1,-2), T(e3)=(2,1,1)

Passo 3

Para verificar se T é autoadjunto, comparamos A com sua transposta A^T. Calculamos
A^T = 1 & -1 & 2 -1 & 1 & -2 2 & 1 & 1
Como A^T neq A, o operador não é autoadjunto.

Passo 4

Para verificar se T é ortogonal, precisamos checar se
A^T A = I3
Calculamos
A^T A = 6 & -6 & 3 -6 & 6 & -3 3 & -3 & 6 ,
que não coincide com a matriz identidade. Logo, T não é ortogonal.

Resposta

O operador T não é nem autoadjunto nem ortogonal.

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