Seja T(x, y, z)=(4x+2y+2z, 6x+2z, 12x+4y+2z) para (x, y, z) in R^3.
É possível achar uma base de R^3 formada por autovetores de T? Se sim, ache essa base. Como isso podemos achar uma base ortonormal de R^3? Essa base ainda seria formada por autovetores de T?

Passo 1

Estamos com a transformação linear TcolonR^3toR^3 dada por
T(x,y,z)=(4x+2y+2z,;6x+2z,;12x+4y+2z)
Em coordenadas canônicas, a matriz de T é
A= 4 & 2 & 2 6 & 0 & 2 12 & 4 & 2
Queremos ( 1) verificar se A é diagonalizável, isto é, achar uma base de autovetores, e ( 2) discutir se existe uma base ortonormal de autovetores.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico det(A-lambda I). Temos
det(A-lambda I) = 4-lambda & 2 & 2 6 & -lambda & 2 12 & 4 & 2-lambda
Expandindo, chega-se a
det(A-lambda I)=-(lambda+2)^2(lambda-10)
Logo os autovalores são
lambda1=10(mu<iplicidade algébrica 1), lambda2=-2(mu<iplicidade algébrica 2) éé

Passo 3

Para
cuja solução é
Para , i.e.
Um sistema de dimensão gera a base do espaço próprio

Passo 4

Como os autovalores são 10 (mult.\ alg.\ 1) e -2 (mult.\ alg.\ 2) e cada um tem espaço próprio de dimensão igual à sua multiplicidade algébrica, concluímos que A é diagonalizável. Logo
,v1,;v2,;v3 = (1,1,2),;(1,-3,0),;(0,-1,1)
é uma base de R^3 formada por autovetores de T.

Passo 5

Para obter uma base ortonormal de R^3 aplicamos o processo de Gram–Schmidt a qualquer base, por exemplo à base canônica ou até a v1,v2,v3. Contudo, como A não é simétrica, a ortonormalização dos autovetores não preserva o fato de serem autovetores de T: o vetor que surge ortogonal a dois autovetores de um mesmo espaço próprio de lambda=-2 continua autovetor de -2, mas a correção ortogonal de v1 em relação a eles já deixa de ser autovetor de lambda=10. Em outras palavras, não existe base ortonormal inteira de R^3 formada só por autovetores de T pois isso exigiria que A fosse diagonalizável ortogonalmente (i.e.\ simétrica).

Resposta

Uma base de autovetores de T é
(1,1,2),;(1,-3,0),;(0,-1,1)
Podemos obter alguma base ortonormal de R^3 via Gram–Schmidt, mas ela não será formada exclusivamente por autovetores de T, já que A não é simétrica.

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