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É possível achar uma base de formada por autovetores de ? Se sim, ache essa base. Como isso podemos achar uma base ortonormal de ? Essa base ainda seria formada por autovetores de ?
Passo 1
Estamos com a transformação linear dada por
Em coordenadas canônicas, a matriz de é
Queremos (1) verificar se A é diagonalizável, isto é, achar uma base de autovetores, e (2) discutir se existe uma base ortonormal de autovetores.
Passo 2
Calculemos o polinômio característico det(A-lambda I). Temos
Um sistema de dimensão gera a base do espaço próprio
Passo 4
Como os autovalores são 10 (mult.\ alg.\ 1) e -2 (mult.\ alg.\ 2) e cada um tem espaço próprio de dimensão igual à sua multiplicidade algébrica, concluímos que A é diagonalizável. Logo
,v1,;v2,;v3 = (1,1,2),;(1,-3,0),;(0,-1,1)
é uma base de R^3 formada por autovetores de T.
Passo 5
Para obter uma base ortonormal de R^3 aplicamos o processo de Gram–Schmidt a qualquer base, por exemplo à base canônica ou até a v1,v2,v3. Contudo, como A não é simétrica, a ortonormalização dos autovetores não preserva o fato de serem autovetores de T: o vetor que surge ortogonal a dois autovetores de um mesmo espaço próprio de lambda=-2 continua autovetor de -2, mas a correção ortogonal de v1 em relação a eles já deixa de ser autovetor de lambda=10. Em outras palavras, não existe base ortonormal inteira de R^3 formada só por autovetores de T pois isso exigiria que A fosse diagonalizável ortogonalmente (i.e.\ simétrica).
Resposta
Uma base de autovetores de T é
(1,1,2),;(1,-3,0),;(0,-1,1)
Podemos obter alguma base ortonormal de R^3 via Gram–Schmidt, mas ela não será formada exclusivamente por autovetores de T, já que A não é simétrica.