Seja T(x, y, z)=(4x+2y+2z, 6x+2z, 12x+4y+2z) para (x, y, z) in R^3.
Podemos garantir, a priori, a existência de uma base ortonormal de R^3 formada por autovetores de T?

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear T:R^3toR^3 e pergunta se existe, a priori, uma base ortonormal de R^3 formada por autovetores de T. Isso remete ao Teorema Espectral no caso real, que garante a existência de tal base se e somente se T for autoadjunto (ou seja, sua matriz for simétrica) em relação ao produto interno canônico.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica e1,e2,e3. Pelas fórmulas
T(x,y,z) = (4x+2y+2z,;6x+0y+2z,;12x+4y+2z),
a matriz associada é
A = 4 & 2 & 2 6 & 0 & 2 12 & 4 & 2

Passo 3

Para verificar se A é simétrica, comparamos A com sua transposta A^T:
A^T = 4 & 6 & 12 2 & 0 & 4 2 & 2 & 2
Note que, por exemplo, o elemento (1,2) de A é 2, enquanto o elemento (2,1) de A é 6. Logo
A neq A^T,
ou seja, T não é autoadjunto.

Passo 4

Como T não é representada por uma matriz simétrica, o Teorema Espectral para operadores reais não se aplica. Portanto não podemos garantir, a priori, a existência de uma base ortonormal de R^3 formada por autovetores de T.

Resposta

Não.

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