Seja para .
Podemos garantir, a priori, a existência de uma base ortonormal de formada por autovetores de ?
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear e pergunta se existe, a priori, uma base ortonormal de formada por autovetores de . Isso remete ao Teorema Espectral no caso real, que garante a existência de tal base se e somente se for autoadjunto (ou seja, sua matriz for simétrica) em relação ao produto interno canônico.
Passo 2
Vamos escrever a matriz de na base canônica . Pelas fórmulas
a matriz associada é
Passo 3
Para verificar se A é simétrica, comparamos A com sua transposta A^T:
A^T = 4 & 6 & 12 2 & 0 & 4 2 & 2 & 2
Note que, por exemplo, o elemento (1,2) de A é 2, enquanto o elemento (2,1) de A é 6. Logo
A neq A^T,
ou seja, Tnão é autoadjunto.
Passo 4
Como T não é representada por uma matriz simétrica, o Teorema Espectral para operadores reais não se aplica. Portanto não podemos garantir, a priori, a existência de uma base ortonormal de R^3 formada por autovetores de T.