Considere V o espaço vetorial de vetores reais de 3 coordenadas com as operações usuais. Verifique quais dos subconjuntos abaixo de V é um subespaço vetorial de V .
Todos os vetores da forma ( a, b, c ) com b = a+c.

Passo 1

O enunciado define V=\mathbb{R}^3 com as operações usuais e o subconjunto
W = \{(a,b,c)\in V \mid b = a + c\}.
Queremos verificar se W é subespaço de V. Para isso, usamos o critério:
  1. W\neq\emptyset (ou equivalentemente 0\in W);
  2. W é fechado sob soma;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de V está em W. O vetor zero é (0,0,0).
Como 0 = 0 + 0, temos (0,0,0)\in W. Logo, W não é vazio.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob soma. Tomemos
u=(a_1,b_1,c_1)\in W,\quad v=(a_2,b_2,c_2)\in W
ou seja, b_1 = a_1 + c_1 e b_2 = a_2 + c_2. Então
u+v = (a_1+a_2,\;b_1+b_2,\;c_1+c_2).
Como
b_1+b_2 = (a_1+c_1)+(a_2+c_2) = (a_1+a_2)+(c_1+c_2),
segue que u+v\in W.

Passo 4

Mostramos que W é fechado sob multiplicação por escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e u=(a,b,c)\in W, isto é b=a+c. Então
\lambda u = (\lambda a,\;\lambda b,\;\lambda c).
Como
\lambda b = \lambda(a+c) = (\lambda a)+(\lambda c),
segue que \lambda u\in W.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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