Considere V o espaço vetorial de vetores reais de 3 coordenadas com as operações usuais. Verifique quais dos subconjuntos abaixo de V é um subespaço vetorial de V .
Todos os vetores da forma ( a, b, c ) com b = a+c+1.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = \mathbb{R}^3 com operações usuais e o subconjunto
S = \{(a,b,c)\in \mathbb{R}^3 \mid b = a + c + 1\}.
Para verificar se S é subespaço de V precisamos checar três propriedades:
  1. O vetor zero deve pertencer a S.
  2. S deve ser fechado sob soma.
  3. S deve ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Teste do vetor zero: o vetor zero de V é (0,0,0). Para pertencer a S precisaria satisfazer
0 = 0 + 0 + 1,
isto é, 0 = 1, o que é falso. Logo (0,0,0)\notin S, e S já falha na condição de conter o vetor zero.

Passo 3

Teste de fechamento sob soma: sejam (a_1,b_1,c_1) e (a_2,b_2,c_2)\in S. Então
b_i = a_i + c_i + 1\quad(i=1,2).
A soma é (a_1+a_2,\;b_1+b_2,\;c_1+c_2). O segundo componente vale
b_1 + b_2 = (a_1+c_1+1)+(a_2+c_2+1) = (a_1+a_2)+(c_1+c_2)+2,
porém, para estar em S precisaria ser (a_1+a_2)+(c_1+c_2)+1. Como aparece +2 em vez de +1, não há fechamento sob soma.

Passo 4

Conclusão: S não contém o vetor zero e não é fechado sob soma (nem sob multiplicação escalar). Portanto S não é subespaço vetorial de V.

Resposta

O conjunto não é subespaço vetorial de V.

Exercícios relacionados