Considere V o espaço vetorial de vetores reais de 3 coordenadas com as operações usuais. Verifique quais dos subconjuntos abaixo de V é um subespaço vetorial de V .
Todos os vetores da forma (
).
Todos os vetores da forma (
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
com as operações usuais e o subconjunto
Para mostrar que
é subespaço vetorial de
, basta verificar três propriedades:
-
não é vazio (contém o vetor zero). -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar se o vetor zero de
está em
.
O vetor zero de é
. Como sua terceira coordenada é zero, ele está na forma
(com
,
). Logo,
O vetor zero de
Passo 3
Verificar fechadura sob adição.
Sejam e
dois vetores em
. Então
Sejam
que novamente tem terceira coordenada zero. Portanto
.
Passo 4
Verificar fechadura sob multiplicação por escalar.
Tomando e
, temos
Tomando
cuja terceira componente continua zero, logo
.
Resposta
O conjunto de todos os vetores da forma
é de fato um subespaço vetorial de
.