Considere V o espaço vetorial de vetores reais de 3 coordenadas com as operações usuais. Verifique quais dos subconjuntos abaixo de V é um subespaço vetorial de V .
Todos os vetores da forma ( a, b, 0 ).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=\mathbb{R}^3 com as operações usuais e o subconjunto
W = \{(a,b,0)\mid a,b\in\mathbb{R}\}.
Para mostrar que W é subespaço vetorial de V, basta verificar três propriedades:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor zero de V está em W.
O vetor zero de V é (0,0,0). Como sua terceira coordenada é zero, ele está na forma (a,b,0) (com a=0, b=0). Logo,
(0,0,0)\in W.

Passo 3

Verificar fechadura sob adição.
Sejam u=(a_1,b_1,0) e v=(a_2,b_2,0) dois vetores em W. Então
u+v = (a_1+a_2,\;b_1+b_2,\;0+0) = (a_1+a_2,\;b_1+b_2,\;0),
que novamente tem terceira coordenada zero. Portanto u+v\in W.

Passo 4

Verificar fechadura sob multiplicação por escalar.
Tomando \lambda\in\mathbb{R} e u=(a,b,0)\in W, temos
\lambda\,u = (\lambda a,\;\lambda b,\;\lambda\cdot 0) = (\lambda a,\;\lambda b,\;0),
cuja terceira componente continua zero, logo \lambda u\in W.

Resposta

O conjunto de todos os vetores da forma (a,b,0) é de fato um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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