Determine quais das matrizes abaixo são combinação linear de
A=\left[\begin{array}{cc}4 & 0 \\\\ -2 & -2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & 3\end{array}\right]_{\mathrm{e}} C=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 1 & 4\end{array}\right].
\left[\begin{array}{cc}6 & -8 \\\\ -1 & -8\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}4 & 0 \\\\ -2 & -2\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 1 & 4\end{pmatrix}
e pergunta se
M = \begin{pmatrix}6 & -8 \\\\ -1 & -8\end{pmatrix}
é combinação linear de A,B,C. Ou seja, precisamos ver se existem escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha A + \beta B + \gamma C = M.

Passo 2

Escrevendo a igualdade entrada a entrada, obtemos o sistema
\begin{cases} 4\alpha + \beta + 0\gamma = 6,\\\\ 0\alpha - \beta + 2\gamma = -8,\\\\ -2\alpha + 2\beta + \gamma = -1,\\\\ -2\alpha + 3\beta + 4\gamma = -8. \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações temos
\beta = 6 - 4\alpha
e
-\beta + 2\gamma = -8\implies -\,(6-4\alpha)+2\gamma=-8\implies 2\alpha+\gamma=-1\implies \gamma=-1-2\alpha.

Passo 4

Substituindo \beta e \gamma na terceira equação:
-2\alpha + 2(6-4\alpha) +(-1-2\alpha) = -1
-2\alpha +12 -8\alpha -1 -2\alpha = -1 \implies -12\alpha +11 = -1 \implies \alpha = 1.
Logo \beta=6-4\cdot1=2 e \gamma=-1-2\cdot1=-3.

Passo 5

Só resta verificar a quarta equação com \alpha=1, \beta=2, \gamma=-3:
-2(1)+3(2)+4(-3) = -2+6-12 = -8,
que coincide com o termo independente. Portanto o sistema é compatível e
M = 1\cdot A \;+\;2\cdot B\;-\;3\cdot C.

Resposta

M é combinação linear de A,B,C, pois
\begin{pmatrix}6 & -8 \\\\ -1 & -8\end{pmatrix} = 1\,A + 2\,B -3\,C.

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