Determine quais das matrizes abaixo são combinação linear de A=\left[\begin{array}{cc}4 & 0 \\\\ -2 & -2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & 3\end{array}\right]_{\mathrm{e}} C=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 1 & 4\end{array}\right]. \left[\begin{array}{cc}6 & -8 \\\\ -1 & -8\end{array}\right]. Passo 1O enunciado nos dá as matrizes A = \begin{pmatrix}4 & 0 \\\\ -2 & -2\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 1 & 4\end{pmatrix} e pergunta se M = \begin{pmatrix}6 & -8 \\\\ -1 & -8\end{pmatrix} é combinação linear de A,B,C. Ou seja, precisamos ver se existem escalares \alpha,\beta,\gamma tais que \alpha A + \beta B + \gamma C = M. Passo 2Escrevendo a igualdade entrada a entrada, obtemos o sistema \begin{cases} 4\alpha + \beta + 0\gamma = 6,\\\\ 0\alpha - \beta + 2\gamma = -8,\\\\ -2\alpha + 2\beta + \gamma = -1,\\\\ -2\alpha + 3\beta + 4\gamma = -8. \end{cases} Passo 3Das duas primeiras equações temos \beta = 6 - 4\alpha e -\beta + 2\gamma = -8\implies -\,(6-4\alpha)+2\gamma=-8\implies 2\alpha+\gamma=-1\implies \gamma=-1-2\alpha. Passo 4Substituindo \beta e \gamma na terceira equação: -2\alpha + 2(6-4\alpha) +(-1-2\alpha) = -1 -2\alpha +12 -8\alpha -1 -2\alpha = -1 \implies -12\alpha +11 = -1 \implies \alpha = 1. Logo \beta=6-4\cdot1=2 e \gamma=-1-2\cdot1=-3. Passo 5Só resta verificar a quarta equação com \alpha=1, \beta=2, \gamma=-3: -2(1)+3(2)+4(-3) = -2+6-12 = -8, que coincide com o termo independente. Portanto o sistema é compatível e M = 1\cdot A \;+\;2\cdot B\;-\;3\cdot C. Resposta M é combinação linear de A,B,C, pois \begin{pmatrix}6 & -8 \\\\ -1 & -8\end{pmatrix} = 1\,A + 2\,B -3\,C. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosConsidere V o espaço vetorial de vetores reais de 3 coordenadas com as operações usuais. Verifique quais dos subconjuntos abaixo de V é um subespaço vetorial de V . Todos os vetores da forma ( a, b, 0 ). Considere V o espaço vetorial de vetores reais de 3 coordenadas com as operações usuais. Verifique quais dos subconjuntos abaixo de V é um subespaço vetorial de V . Todos os vetores da forma ( a, b, c ) com b = a+c+1. Determine quais das matrizes abaixo são combinação linear de A=\left[\begin{array}{cc}4 & 0 \\\\ -2 & -2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & 3\end{array}\right]_{\mathrm{e}} C=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 1 & 4\end{array}\right]. \left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]. Determine quais das matrizes abaixo são combinação linear de A=\left[\begin{array}{cc}4 & 0 \\\\ -2 & -2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & 3\end{array}\right]_{\mathrm{e}} C=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 1 & 4\end{array}\right]. \left[\begin{array}{ll}6 & 0 \\\\ 3 & 8\end{array}\right].