Determine quais das matrizes abaixo são combinação linear de
A=\left[\begin{array}{cc}4 & 0 \\\\ -2 & -2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & 3\end{array}\right]_{\mathrm{e}} C=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 1 & 4\end{array}\right].
\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}4 & 0 \\\\ -2 & -2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 1 & 4\end{pmatrix}
e pergunta quais das matrizes abaixo são combinação linear de A,B,C. A única matriz a verificar é a matriz nula
M = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.

Passo 2

Por definição, M é combinação linear de A,B,C se existem escalares x,y,z tais que
xA + yB + zC = M.
Uma escolha imediata é
x=0,\quad y=0,\quad z=0,
pois então
0\cdot A + 0\cdot B + 0\cdot C = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix} = M.

Resposta

\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix} é combinação linear de A,B,C (com coeficientes todos iguais a zero).

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