Considere V=R^4, W1=(x, y, z, w) in R^4 mid x+3 y-w=0, x+y+z-w=0, W2=(x, y, z, w) in R^4 mid x-2 y+z+w=0, x+z=0 e T in L(V) dado como
T(x, y, z, w)=[c x+y -3 x-2 y-2 z+2 w x+5 y+2 z-3 w -5 x-2 y-3 z+3 w ]
Mostre que V=W1 oplus W2

Passo 1

O enunciado diz que V=R^4 e que
W1=(x,y,z,w)inR^4mid x+3y-w=0,;x+y+z-w=0,
W2=(x,y,z,w)inR^4mid x-2y+z+w=0,;x+z=0,
e pede para mostrar que
V=W1oplus W2
O conteúdo aqui é soma direta de subespaços: precisamos verificar que W1+W2=V e que W1cap W2=0. Vamos usar a dimensão dos subespaços e resolver o sistema de interseção.

Passo 2

Calcular . As duas equações lineares que definem podem ser escritas em forma matricial como
As linhas e são linearmente independentes, logo o posto da matriz é . Portanto

Passo 3

Calcular . As equações de em forma matricial são
As linhas e também são independentes, então o posto é e

Passo 4

Mostrar que
Da última vem , ou seja , então . Em fica , logo . Finalmente em substituindo , , obtém-se , de onde . Assim e a interseção é só o vetor nulo.

Passo 5

Concluímos que
dim(W1)+dim(W2)=2+2=4=dim(V) e W1cap W2=0
Isto implica que W1+W2=V e que a soma é direta.

Resposta

V = W1oplus W2

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