Considere V o volume do sólido S pela rotação em torno do eixo y da região delimitada por y = raiz(x) e y = x^2.
Encontre o volume do sólido S utilizando o método das cascas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular o volume de um sólido que resulta da rotação da região delimitada pelas curvas e em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica bem legal para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso vai nos ajudar a determinar os limites de integração. Vamos igualar com :
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, trazemos tudo para um lado da equação:
Fatorando:
Então, temos as soluções:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar qual função está por cima na região entre e . Vamos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Então, está acima de nesse intervalo. Isso é importante para definir a altura das cascas cilíndricas que vamos usar no método.

Passo 4

O método das cascas cilíndricas nos diz que o volume pode ser calculado pela integral:
Onde:
  • é a distância do elemento à linha de rotação (neste caso, o eixo ).
  • é a função de cima ( ).
  • é a função de baixo ( ).
  • e são os limites de integração (0 e 1).

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Substituindo na expressão do volume:
Avaliar nos limites de 0 a 1:
Para :
Para :
Então, a diferença é .
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados