Considere
o volume do sólido
pela rotação em torno do eixo
da região delimitada por
e
.
Encontre o volume do sólido
utilizando o método das cascas cilíndricas.
Encontre o volume do sólido
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para calcular o volume
de um sólido
que resulta da rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica bem legal para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso vai nos ajudar a determinar os limites de integração. Vamos igualar
com
:
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, trazemos tudo para um lado da equação:
Fatorando:
Então, temos as soluções:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar qual função está por cima na região entre
e
. Vamos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Então,
está acima de
nesse intervalo. Isso é importante para definir a altura das cascas cilíndricas que vamos usar no método.
Passo 4
O método das cascas cilíndricas nos diz que o volume
pode ser calculado pela integral:
Onde:
-
é a distância do elemento à linha de rotação (neste caso, o eixo ). -
é a função de cima ( ). -
é a função de baixo ( ). -
e são os limites de integração (0 e 1).
Passo 5
Vamos substituir os valores na fórmula:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Substituindo na expressão do volume:
Avaliar nos limites de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Então, a diferença é
.
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.