Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola. Faça um esboço da parábola.
-y + 2x^2 = y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o vértice, o foco e a diretriz de uma parábola definida pela equação . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como identificar esses elementos em uma parábola padrão e manipular a equação para chegar à forma que nos facilita encontrar cada componente.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a análise. Temos:
Vamos somar dos dois lados para isolar os termos com :
Dividindo ambos os lados por 2:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos comparar essa equação com a forma padrão de uma parábola vertical, que é:
Onde é o vértice da parábola. No nosso caso, , e . Portanto, o vértice está no ponto .

Passo 4

Com o vértice identificado, vamos encontrar o foco e a diretriz. Para uma parábola da forma , as fórmulas são:
  • Foco:
  • Diretriz:
Substituindo , e :
  • Foco:
  • Diretriz:

Passo 5

Por fim, para fazer um esboço da parábola , sabemos que ela abre para cima (porque o coeficiente de é positivo), tem o vértice na origem , o foco um pouco acima no ponto , e a diretriz é uma linha reta abaixo da origem, em .

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:
  • Esboço da parábola: Uma parábola que abre para cima com vértice na origem, foco em e diretriz em .

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