Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola. Faça um esboço da parábola.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o vértice, o foco e a diretriz de uma parábola definida pela equação
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como identificar esses elementos em uma parábola padrão e manipular a equação para chegar à forma que nos facilita encontrar cada componente.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a análise. Temos:
Vamos somar
dos dois lados para isolar os termos com
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos comparar essa equação com a forma padrão de uma parábola vertical, que é:
Onde
é o vértice da parábola. No nosso caso,
,
e
. Portanto, o vértice está no ponto
.
Passo 4
Com o vértice identificado, vamos encontrar o foco e a diretriz. Para uma parábola da forma
, as fórmulas são:
- Foco:
- Diretriz:
Substituindo
,
e
:
- Foco:
- Diretriz:
Passo 5
Por fim, para fazer um esboço da parábola
, sabemos que ela abre para cima (porque o coeficiente de
é positivo), tem o vértice na origem
, o foco um pouco acima no ponto
, e a diretriz é uma linha reta abaixo da origem, em
.
Resposta
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
- Esboço da parábola: Uma parábola que abre para cima com vértice na origem, foco em
e diretriz em .