Sejam
, para todo
, e
. Encontre, se possível, o valor da constante
para que
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
, definida para todo
. Além disso, temos um limite
. Nosso objetivo é encontrar o valor da constante
que faz com que a inversa da função
em zero seja igual a
, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Como encontrar a inversa de uma função.
- Como calcular o limite dado.
- Relacionar essas duas informações para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a inversa da função
. A inversa de uma função,
, é aquela que nos dá o valor de
quando conhecemos o valor de
tal que
.
Começamos com:
Para encontrar
, vamos resolver essa equação para
.
Passo 3
Vamos isolar
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, vamos resolver para
:
Então, a inversa da função
é:
Passo 4
Queremos que
. Vamos calcular
:
Substituindo
na inversa:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite
.
Primeiro, simplificamos a expressão dentro do limite:
Quando
tende a infinito,
tende a zero. Então, a expressão se aproxima de:
Entretanto, precisamos calcular o limite da forma
, que é uma expressão do tipo
, cujo limite é
quando
tende a infinito.
Então:
Passo 6
Sabemos que
e que também
. Portanto:
Para encontrar
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Resposta
O valor da constante
é
.