Sejam f(x)=ln raiz2-2 x, para todo x<1, e k=lim x +infty(x+cx-c)^x. Encontre, se possível, o valor da constante c para que f^-1(0)=k.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função , definida para todo . Além disso, temos um limite . Nosso objetivo é encontrar o valor da constante que faz com que a inversa da função em zero seja igual a , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  1. Como encontrar a inversa de uma função.
  2. Como calcular o limite dado.
  3. Relacionar essas duas informações para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inversa da função y = ln raiz2 - 2x . A inversa de uma função, , é aquela que nos dá o valor de quando conhecemos o valor de tal que .
Começamos com:
Para encontrar , vamos resolver essa equação para .

Passo 3

Vamos isolar e^y = raiz2 - 2x :
e^2y = 2 - 2x
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
2x = 2 - e^2y
Agora, vamos resolver para x = 1 - e^2y2 :
f^-1(y) = 1 - e^2y2
Então, a inversa da função é:

Passo 4

Queremos que f^-1(0) = 1 - e^02 = 1 - 12 = 12 . Vamos calcular :
Substituindo na inversa:
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite x + cx - c = x(1 + cx)x(1 - cx) = 1 + cx1 - cx .
Primeiro, simplificamos a expressão dentro do limite:
1 + 01 - 0 = 1
Quando limx +infty (x + cx - c)^x = e^2c tende a infinito, tende a zero. Então, a expressão se aproxima de:
Entretanto, precisamos calcular o limite da forma , que é uma expressão do tipo , cujo limite é quando tende a infinito.
Então:

Passo 6

Sabemos que e^2c = 12 e que também 2c = ln (12) . Portanto:
2c = -ln 2
Para encontrar c = -ln 22 , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Resposta

O valor da constante é .

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