Considere
A=[lll 1 & 1 & t 1 & t & t t & t & 1 ]
Para quais valores de t a matriz A é inversível?

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de t para os quais a matriz
A = 1 & 1 & t 1 & t & t t & t & 1
é inversível.
Conteúdo: uma matriz é inversível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular det(A) e encontrar para quais t ele se anula.

Passo 2

Usando expansão de Laplace pela primeira linha, escrevemos
det(A) = 1 cdot t & t t & 1 - 1 cdot 1 & t t & 1 + t cdot 1 & t t & t

Passo 3

Calculamos cada menor:
t & t t & 1 = tcdot1 - tcdot t = t - t^2,
1 & t t & 1 = 1cdot1 - tcdot t = 1 - t^2,
1 & t t & t = 1cdot t - tcdot t = t - t^2
Substituindo em det(A):
det(A) = 1,(t - t^2) -1,(1 - t^2) + t,(t - t^2)

Passo 4

Reorganizando termos:
det(A) = t - t^2 -1 + t^2 + t^2 - t^3 = (t -1) + t^2(1 - t)
Fatorando 1-t em evidência:
det(A) = -(1-t) + t^2(1-t) = (1-t)(t^2 -1) = (1-t)(t-1)(t+1) = - (t-1)^2 (t+1)

Passo 5

A matriz é inversível quando det(A)neq 0. Logo precisamos de
-(t-1)^2(t+1)neq 0 Longrightarrow t-1neq 0 ; e ; t+1neq 0

Resposta

A matriz A é inversível para todos os t tais que
t neq 1 e t neq -1

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