Considere variáveis aleatórias independentes X1, X2, ldots uniformemente distribuídas em [0,1], e deixe Zn=max k <= n Xk.
a) Prove que Zn 1 em probabilidade.
b) Prove que Zn 1 quase certamente.

Passo 1

Estamos com variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) uniformes em [0,1], e definimos Zn=max1<= k<= nXk. O objetivo é mostrar que Znto1 em probabilidade (parte a) e depois que Znto1 quase certamente (parte b). Para isso vamos usar a definição de convergência em probabilidade, o fato de que Zn<=1 e a Lei de Borel-Cantelli.

Resposta

Z_n converge para 1 tanto em probabilidade quanto quase certamente.

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